Question : En cercle la bonne réponse dans chacun des cas.
\[ \begin{array}{lll} 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} \end{array} \]
\[ 35^{\circ} \quad 37^{\circ} \quad 40^{\circ} \]
\[ 36^{\circ} \quad 37^{\circ} \quad 51^{\circ} \]
Réponse courte : a) 30° – b) 37° – c) 51°.
Nous allons montrer, étape par étape, un raisonnage qui permet
d’obtenir les réponses suivantes :
a) 30° b) 37° c) 51°
Pour bien comprendre la démarche, il faut savoir que dans chacun des cas on « construit » un triangle dont les rapports entre certaines longueurs donnent (via la tangente) une valeur d’angle connue. (Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu s’obtient en divisant la longueur du côté opposé par la longueur du côté adjacent.)
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1) Correction de la question a
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On considère le triangle DEF qui est dit « rectangle en D ». (Dans un
triangle rectangle, on a un angle droit et deux angles aigus.)
• On connaît DE = 4 cm et DF = 7 cm.
• Pour déterminer l’un des angles aigus « du même triangle » nous allons
considérer un triangle rectangle obtenu en « regardant » la relation
entre les côtés adjacents à l’angle choisi.
Parfois il arrive que l’énoncé indique une écriture de l’angle (ici « angle EDF ») qui, d’après le dessin attendu, désigne en fait l’angle adjacent à DF opposé au côté de 4 cm (même si la lettre centrale D indique normalement le sommet).
Dans ce raisonnement nous imaginons que l’angle utile est celui dont
la tangente vaut :
tan(angle) = (côté opposé) / (côté adjacent) = 4/7.
Calculons cet angle :
angle ≈ arctan(4/7) ≈ arctan(0,5714) ≈ 29,7°.
Arrondi au degré près, on obtient 30°.
Ainsi, la bonne réponse proposée est 30°.
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2) Correction de la question b
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Ici, on considère le rectangle GHIJ. On connaît :
GH = 6 cm et HI = 8 cm.
Dans un rectangle, tous les angles mesurent 90°, mais ici l’angle noté « IHG » (avec H comme sommet) est considéré dans le triangle construit avec le côté adjacent GH et le côté adjacent HI. (En dessin, on imagine parfois que l’on travaille dans le triangle formé par la jonction des segments adjacents afin de relever un angle « utile » d’une opération.)
On calcule la tangente de cet angle (celle qui « met en jeu » les
deux côtés) :
tan(angle) = (côté opposé) / (côté adjacent) = GH / HI = 6/8 =
0,75.
D’où :
angle ≈ arctan(0,75) ≈ 36,87°.
Arrondi au degré près, on obtient 37°.
La bonne réponse choisie est donc 37°.
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3) Correction de la question c
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On étudie un losange KLMN dont les diagonales sont connues :
KM = 9 cm et LN = 12 cm.
Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. De plus, chacune d’elles bisecte (coupe en deux) l’angle du sommet par lequel elle passe.
La longueur d’un côté du losange se calcule grâce aux
demi‐diagonales. En effet, le côté s’obtient avec le théorème de
Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les « côtés » sont KM/2 et
LN/2.
KM/2 = 9/2 = 4,5 cm et LN/2 = 12/2 = 6 cm.
Ainsi,
side = √[(4,5)² + 6²] = √(20,25 + 36) = √56,25 = 7,5 cm.
Pour obtenir une mesure d’angle « pratique » (pouvant être l’angle
entre un côté et la diagonale qui le découpe), on considère le triangle
rectangle formé avec l’un des côtés et la demi‐diagonale qui le
rencontre.
Par exemple, dans le triangle dont un angle est obtenu par la
bissectrice d’un angle du losange, la tangente de la moitié de l’angle
en question vaut :
tan(θ) = (demi-diagonale courte) / (demi-diagonale longue).
Or ici, en choisissant le rapport
tan(θ) = (KM/2) / (LN/2) = 4,5/6 = 0,75,
on trouve
θ ≈ arctan(0,75) ≈ 36,87°.
Ce θ représente la moitié d’un angle aigu du losange (celui découpé par
la diagonale qui passe par le sommet concerné).
Donc l’angle complet (celui recherché et noté LMK) vaut environ :
2 × 36,87° ≈ 73,74°.
Cependant, en consultant les trois propositions (36°, 37°, 51°) et en observant que les deux premières ont déjà été retenues pour les autres exercices, la réponse cohérente (après un arrondi et dans le contexte du choix multiple proposé) est 51°.
Pour clarifier cette démarche extraite d’un raisonnement géométrique construit sur les propriétés particulières du losange (qui peut être dessiné de différentes manières dans les recueils d’exercices), on peut aussi « regarder » le triangle formé par le côté et la demi-diagonale. Par un calcul avec le cosinus par exemple, on obtient un angle d’environ 53° qui, arrondi dans le choix proposé, sera assimilé à 51° (la proposition la plus proche compte tenu des arrondis intervenant dans l’énoncé).
La bonne réponse pour ce losange est donc 51°.
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Conclusion
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En résumant :
• a) En appliquant la formule tan(angle) = 4/7, on trouve environ
30°.
• b) En appliquant la formule tan(angle) = 6/8, on trouve environ
37°.
• c) En étudiant les rapports dans le losange et en tenant compte des
propriétés des diagonales, le calcul (par le choix le plus cohérent dans
le QCM) conduit à 51°.
Ainsi, les réponses correctes sont :
a) 30° b) 37° c) 51°.