Question : Exprime le nombre de diagonales d’un polygone convexe en fonction du nombre de ses côtés \(n\).
Le nombre de diagonales \(D\) d’un polygone convexe à \(n\) côtés est donné par la formule \(D = \frac{n(n - 3)}{2}\). Par exemple, un pentagone (\(n = 5\)) possède 5 diagonales.
Correction détaillée :
Pour déterminer le nombre de diagonales d’un polygone convexe en fonction du nombre de ses côtés \(n\), suivons les étapes suivantes :
Une diagonale dans un polygone est un segment de droite qui relie deux sommet non consécutifs du polygone. Autrement dit, ce sont des segments qui relient des coins du polygone sans être des côtés du polygone.
Un polygone à \(n\) côtés possède \(n\) sommets. Chaque sommet peut être connecté à d’autres sommets pour former des diagonales.
À partir d’un seul sommet, on peut tracer des diagonales vers les autres sommets, sauf : - Le sommet lui-même. - Les deux sommets adjacents (car la connexion avec ces sommets forme les côtés du polygone, pas des diagonales).
Ainsi, le nombre de diagonales possibles depuis un sommet est : \[ n - 3 \] (car on exclut 3 sommets : le sommet lui-même et les deux voisins adjacents).
Comme chaque diagonale est comptée deux fois (une fois depuis chaque extrémité), pour éviter de double-compter, on divise par 2 le produit du nombre de diagonales par sommet et du nombre de sommets.
Donc, le nombre total de diagonales \(D\) est donné par : \[ D = \frac{n \times (n - 3)}{2} \]
Prenons un exemple pour illustrer la formule.
Exemple : Calculons le nombre de diagonales d’un pentagone (\(n = 5\)).
\[ D = \frac{5 \times (5 - 3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
Ainsi, un pentagone a 5 diagonales.
La formule générale pour exprimer le nombre de diagonales \(D\) d’un polygone convexe en fonction du nombre de ses côtés \(n\) est : \[ D = \frac{n(n - 3)}{2} \]
Cette formule permet de calculer rapidement le nombre de diagonales sans avoir à les compter une à une.