Exercice 1

Représentez dans un même système d’axes :

la droite \(d_{1}\) passant par les points \(A(-3 ; 2)\) et \(B(1 ; 0)\),
la droite \(d_{2}\) perpendiculaire à \(d_{1}\) et dont l’ordonnée à l’origine est \(-2\),
le point \(C(-1 ; -4)\).

Donnez la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\).
Calculez l’aire du triangle \(ABC\).

Réponse

Nous avons déterminé que :

Droite \(d_{1}\) :
- Pente : \(-\frac{1}{2}\)
- Ordonnée à l’origine : \(\frac{1}{2}\)
- Équation : \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)
Droite \(d_{2}\) (perpendiculaire à \(d_{1}\)) :
- Pente : \(2\)
- Ordonnée à l’origine : \(-2\)
- Équation : \(y = 2x - 2\)
Aire du triangle \(ABC\) : 10 unités carrées.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons résoudre cet exercice en deux parties :

Détermination des pentes, des ordonnées à l’origine et des équations des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\).
Calcul de l’aire du triangle \(ABC\).

1. Pente, Ordonnée à l’origine et Équation des Droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\)

a. Droite \(d_{1}\) passant par les points \(A(-3 ; 2)\) et \(B(1 ; 0)\)

Étape 1 : Calcul de la pente \(m_{1}\) de \(d_{1}\)

La pente d’une droite passant par deux points \((x_{A}, y_{A})\) et \((x_{B}, y_{B})\) est donnée par la formule :

\[ m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} \]

Appliquons-la aux points \(A(-3 ; 2)\) et \(B(1 ; 0)\) :

\[ m_{1} = \frac{0 - 2}{1 - (-3)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]

Étape 2 : Détermination de l’ordonnée à l’origine \(b_{1}\) de \(d_{1}\)

L’équation d’une droite est de la forme :

\[ y = m x + b \]

Nous connaissons le point \(B(1 ; 0)\) sur la droite \(d_{1}\). Substituons ces valeurs dans l’équation pour trouver \(b_{1}\) :

\[ 0 = -\frac{1}{2} \times 1 + b_{1} \\ 0 = -\frac{1}{2} + b_{1} \\ b_{1} = \frac{1}{2} \]

Étape 3 : Écriture de l’équation de la droite \(d_{1}\)

Ainsi, l’équation de \(d_{1}\) est :

\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \]

b. Droite \(d_{2}\) perpendiculaire à \(d_{1}\) et dont l’ordonnée à l’origine est \(-2\)

Étape 1 : Calcul de la pente \(m_{2}\) de \(d_{2}\)

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est égal à \(-1\) :

\[ m_{1} \times m_{2} = -1 \]

Nous savons que \(m_{1} = -\frac{1}{2}\), donc :

\[ -\frac{1}{2} \times m_{2} = -1 \\ m_{2} = 2 \]

Étape 2 : Détermination de l’ordonnée à l’origine \(b_{2}\) de \(d_{2}\)

D’après l’énoncé, \(d_{2}\) a une ordonnée à l’origine de \(-2\). Ainsi :

\[ b_{2} = -2 \]

Étape 3 : Écriture de l’équation de la droite \(d_{2}\)

Donc, l’équation de \(d_{2}\) est :

\[ y = 2x - 2 \]

Résumons les résultats :

Droite \(d_{1}\) :
- Pente \(m_{1} = -\frac{1}{2}\)
- Ordonnée à l’origine \(b_{1} = \frac{1}{2}\)
- Équation : \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)
Droite \(d_{2}\) :
- Pente \(m_{2} = 2\)
- Ordonnée à l’origine \(b_{2} = -2\)
- Équation : \(y = 2x - 2\)

2. Calcul de l’aire du triangle \(ABC\)

Étape 1 : Repérage des points \(A(-3 ; 2)\), \(B(1 ; 0)\) et \(C(-1 ; -4)\) sur le plan

Pour calculer l’aire du triangle, nous pouvons utiliser la formule basée sur les coordonnées des sommets :

\[ Aire = \frac{1}{2} \left| x_{A}(y_{B} - y_{C}) + x_{B}(y_{C} - y_{A}) + x_{C}(y_{A} - y_{B}) \right| \]

Étape 2 : Application de la formule

Substituons les coordonnées des points \(A(-3 ; 2)\), \(B(1 ; 0)\) et \(C(-1 ; -4)\) dans la formule :

\[ Aire = \frac{1}{2} \left| (-3)(0 - (-4)) + 1((-4) - 2) + (-1)(2 - 0) \right| \]

Calculons chaque terme :

\[ \begin{align*} & (-3)(0 - (-4)) = (-3)(4) = -12 \\ & 1((-4) - 2) = 1(-6) = -6 \\ & (-1)(2 - 0) = (-1)(2) = -2 \\ \end{align*} \]

Additionnons ces résultats :

\[ -12 - 6 - 2 = -20 \]

Prenons la valeur absolue et multiplions par \(\frac{1}{2}\) :

\[ Aire = \frac{1}{2} \times | -20 | = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \]

Résultat

L’aire du triangle \(ABC\) est de 10 unités carrées.

Conclusion

Nous avons déterminé les caractéristiques des droites \(d_{1}\) et \(d_{2}\) ainsi que l’aire du triangle \(ABC\) en appliquant les formules de la géométrie analytique. Ces méthodes sont essentielles pour résoudre divers problèmes de géométrie en utilisant les coordonnées des points.