Exercice 12

Question : Un nombre entier positif \(N\) est dit divisible par la somme de ses chiffres si la somme de ses chiffres divise \(N\) sans reste.

Par exemple, le nombre \(12\) a pour chiffres \(1\) et \(2\). De plus, \(1 + 2 = 3\) et \(12\) est divisible par \(3\) (\(12 \div 3 = 4\)). Ainsi, \(12\) est divisible par la somme de ses chiffres.

Montre que \(18\) et \(24\) sont des nombres divisibles par la somme de leurs chiffres.

Réponse

Les nombres 18 et 24 sont divisibles par la somme de leurs chiffres.

• 18 : \(1 + 8 = 9\) et \(18 \div 9 = 2\) (entier).
• 24 : \(2 + 4 = 6\) et \(24 \div 6 = 4\) (entier).

Ainsi, 18 et 24 satisfont la propriété.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :
Un nombre entier positif \(N\) est dit divisible par la somme de ses chiffres si la somme de ses chiffres divise \(N\) sans reste.

Par exemple, le nombre \(12\) a pour chiffres \(1\) et \(2\). De plus, \(1 + 2 = 3\) et \(12\) est divisible par \(3\) (\(12 \div 3 = 4\)). Ainsi, \(12\) est divisible par la somme de ses chiffres.

Montre que \(18\) et \(24\) sont des nombres divisibles par la somme de leurs chiffres.

Analyse du nombre \(18\)

1. Identification des chiffres de \(18\) :
   Le nombre \(18\) est composé des chiffres \(1\) et \(8\).

2. Calcul de la somme des chiffres :
   \[ 1 + 8 = 9 \]

3. Vérification de la divisibilité :
   Divisons \(18\) par la somme de ses chiffres \(9\) : \[ 18 \div 9 = 2 \] Comme la division donne un nombre entier (\(2\)), il n’y a pas de reste.

4. Conclusion pour \(18\) :
   Puisque \(18\) est divisible par la somme de ses chiffres (\(9\)), le nombre \(18\) satisfait la propriété.

Analyse du nombre \(24\)

1. Identification des chiffres de \(24\) :
   Le nombre \(24\) est composé des chiffres \(2\) et \(4\).

2. Calcul de la somme des chiffres :
   \[ 2 + 4 = 6 \]

3. Vérification de la divisibilité :
   Divisons \(24\) par la somme de ses chiffres \(6\) : \[ 24 \div 6 = 4 \] Comme la division donne un nombre entier (\(4\)), il n’y a pas de reste.

4. Conclusion pour \(24\) :
   Puisque \(24\) est divisible par la somme de ses chiffres (\(6\)), le nombre \(24\) satisfait la propriété.

Résumé

• Pour \(18\) :
  \(1 + 8 = 9\)
  \(18 \div 9 = 2\) (entier) ⟹ Divisible

• Pour \(24\) :
  \(2 + 4 = 6\)
  \(24 \div 6 = 4\) (entier) ⟹ Divisible

Ainsi, les nombres \(18\) et \(24\) sont bien divisibles par la somme de leurs chiffres.