Question : Vrai ou faux ? Dans l’ensemble \(\mathbb{N}\) :
Est-ce que tout nombre est divisible par un ?
Est-ce qu’aucun nombre n’est divisible par lui-même ?
Est-ce que si \(a\) est divisible par deux, alors \(a\) est impair ?
Est-ce que si \(a\) et \(b\) sont divisibles par trois, alors \(a + b\) est divisible par trois ?
Est-ce que si \(a\) est divisible par cinq, alors \(a \times 2\) est divisible par dix ?
Réponses : a) Vrai
b) Faux
c) Faux
d) Vrai
e) Vrai
Voici la correction détaillée de chaque affirmation :
• Explication : Par définition, un entier a est divisible par 1 s’il
existe un entier k tel que a = 1 × k. Ici, pour tout nombre a, on peut
toujours écrire a = 1 × a.
• Conclusion : L’affirmation est vraie.
• Explication : Pour un entier a non nul, a est divisible par
lui-même car a = a × 1. Même si l’on considère le nombre 0, la notion de
divisibilité se définit souvent pour a ≠ 0, mais en général on admet que
tout nombre (différent de zéro) est divisible par lui-même.
• Conclusion : L’affirmation est fausse.
• Explication : Un nombre divisible par 2 est, par définition, pair.
En effet, s’il existe un entier k tel que a = 2 × k, alors a est pair.
Un nombre impair est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme 2
× k.
• Conclusion : L’affirmation est fausse.
• Explication : Supposons que a et b sont divisibles par 3. Il existe alors des entiers k et l tels que a = 3k et b = 3l. Leur somme est : a + b = 3k + 3l = 3(k + l). Puisque (k + l) est un entier, on conclut que a + b est un multiple de 3, c’est-à-dire divisible par 3. • Conclusion : L’affirmation est vraie.
• Explication : Supposons que a est divisible par 5. Il existe un
entier k tel que a = 5k. En multipliant a par 2, on obtient : a × 2 =
5k × 2 = 10k. Or, 10k est exactement un multiple de 10 (puisque k est un
entier).
• Conclusion : L’affirmation est vraie.
Réponse finale :