Question :
Comment s’écrit un multiple de \(15\) ?
Démontre qu’un multiple de \(15\) est également un multiple de \(3\).
Démontre que la somme de deux multiples de \(15\) est un multiple de \(15\).
Résumé très court :
Les multiples de 15 s’écrivent \(15k\) avec \(k\) entier. Chaque multiple de 15 est aussi un multiple de 3. De plus, la somme de deux multiples de 15 est elle-même un multiple de 15.
Correction :
Un multiple de \(15\) s’écrit sous la forme : \[ 15 \times k \] où \(k\) est un entier (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Explication :
Un multiple de \(15\) est obtenu en multipliant \(15\) par un entier quelconque. L’entier \(k\) peut être positif, négatif ou égal à zéro. Par exemple : - Si \(k = 2\), alors le multiple de \(15\) est \(15 \times 2 = 30\). - Si \(k = -3\), alors le multiple de \(15\) est \(15 \times (-3) = -45\). - Si \(k = 0\), alors le multiple de \(15\) est \(15 \times 0 = 0\).
Ainsi, la formule générale pour exprimer un multiple de \(15\) est \(15k\), où \(k\) est un entier.
Assertion : Si un nombre est un multiple de \(15\), alors il est aussi un multiple de \(3\).
Démonstration :
Expression d’un multiple de \(15\) :
Soit \(n\) un multiple de \(15\). On peut écrire : \[ n = 15k \] où \(k\) est un entier.
Décomposition de \(15\) :
Remarquons que \(15\) peut être décomposé en \(3 \times 5\). Ainsi : \[ n = 15k = 3 \times 5 \times k = 3 \times (5k) \]
Conclusion :
Comme \(5k\) est un entier (dénoté par \(m = 5k\), où \(m \in \mathbb{Z}\)), on peut écrire : \[ n = 3 \times m \] Cela signifie que \(n\) est un multiple de \(3\).
Donc, tout multiple de \(15\) est également un multiple de \(3\).
Assertion : Si \(a\) et \(b\) sont deux multiples de \(15\), alors \(a + b\) est également un multiple de \(15\).
Démonstration :
Expression des multiples de \(15\) :
Soient \(a\) et \(b\) deux multiples de \(15\). On peut écrire : \[ a = 15k \quad \text{et} \quad b = 15m \] où \(k\) et \(m\) sont des entiers.
Calcul de la somme \(a + b\) : \[ a + b = 15k + 15m = 15(k + m) \]
Conclusion :
La somme \(a + b\) est égale à \(15\) multiplié par \((k + m)\). Puisque \(k + m\) est un entier (car \(k\) et \(m\) sont des entiers), on peut dire que : \[ a + b = 15 \times n \] où \(n = k + m\) est un entier.
Donc, \(a + b\) est un multiple de \(15\).
Résumé :