Question : On donne l’égalité \(8254 = 154 \cdot 53 + 92\). Quel est le reste de la division euclidienne :
de \(8254\) par \(154\) ?
de \(8254\) par \(53\) ?
Réponses :
92
39
Nous allons résoudre les deux parties de la question en utilisant la division euclidienne. La division euclidienne permet d’exprimer un nombre (le dividende) comme le produit d’un autre nombre (le diviseur) et d’un quotient, auquel on ajoute un reste. La formule générale est :
\[ \text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste} \]
On nous donne l’égalité suivante :
\[ 8254 = 154 \times 53 + 92 \]
Cette équation correspond à une division euclidienne où : - Dividende = \(8254\) - Diviseur = \(154\) - Quotient = \(53\) - Reste = \(92\)
Étape 1 : Vérification du reste
Pour que cette division soit correcte, le reste doit être inférieur au diviseur. Vérifions :
\[ 92 < 154 \quad \text{(vrai)} \]
Ainsi, le reste de la division de \(8254\) par \(154\) est bien \(92\).
Réponse à la partie a :
Le reste de la division euclidienne de \(8254\) par \(154\) est 92.
Contrairement à la partie a, nous devons maintenant diviser \(8254\) par \(53\). Pour cela, nous appliquons la division euclidienne.
Étape 1 : Calcul du quotient
Nous cherchons combien de fois \(53\) peut se trouver dans \(8254\).
\[ \text{Quotient} = \left\lfloor \frac{8254}{53} \right\rfloor \]
Effectuons la division :
\[ 53 \times 155 = 8215 \]
Car :
\[ 53 \times 150 = 7950 \\ 53 \times 5 = 265 \\ \text{Total} = 7950 + 265 = 8215 \]
Étape 2 : Calcul du reste
Maintenant, calculons le reste :
\[ \text{Reste} = 8254 - 53 \times 155 = 8254 - 8215 = 39 \]
Vérification :
Le reste \(39\) est bien inférieur au diviseur \(53\) :
\[ 39 < 53 \quad \text{(vrai)} \]
Réponse à la partie b :
Le reste de la division euclidienne de \(8254\) par \(53\) est 39.
Le reste de la division de \(8254\) par \(154\) est 92.
Le reste de la division de \(8254\) par \(53\) est 39.