Exercice 7

Question : Calcule le nombre \(n\) sachant que :

1. Dans la division euclidienne de 84 par \(n\), le quotient est 6 et le reste est 12.
2. Dans la division euclidienne de 200 par 25, le quotient est 7 et le reste est \(n\).

Réponse

Première division (84 = 6n + 12) → n = (84 − 12) ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
Deuxième division (200 = 7 × 25 + n) → n = 200 − 175 = 25

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des deux parties pas à pas.

────────────────────────────── 1) Première division : « Dans la division euclidienne de 84 par n, le quotient est 6 et le reste est 12 »

Rappelons la formule de la division euclidienne : si on divise un nombre A par un diviseur d, avec quotient q et reste r, on a :

  A = q × d + r

Ici, A = 84, le quotient q = 6, le reste r = 12 et le diviseur est n. On peut écrire :

  84 = 6 × n + 12

Pour trouver n, on procède de la manière suivante :

1. Soustraire 12 de chaque côté de l’équation :   84 − 12 = 6 × n   72 = 6 × n

2. Diviser ensuite par 6 pour isoler n :   n = 72 ÷ 6   n = 12

Ainsi, pour la première division, le nombre n est 12.

────────────────────────────── 2) Deuxième division : « Dans la division euclidienne de 200 par 25, le quotient est 7 et le reste est n »

Ici, A = 200, le diviseur d = 25, le quotient q = 7 et le reste r est noté par n. La formule nous donne :

  200 = 7 × 25 + n

Calculons 7 × 25 :   7 × 25 = 175

Nous avons donc :   200 = 175 + n

Pour trouver n, on soustrait 175 de 200 :   n = 200 − 175   n = 25

Ainsi, pour la deuxième division, le nombre n est 25.

────────────────────────────── Conclusion

On a obtenu deux résultats différents pour n dans des contextes distincts :

• Pour la division de 84 par n, avec quotient 6 et reste 12, n = 12. • Pour la division de 200 par 25, avec quotient 7 et reste n, n = 25.

Chaque partie est un exercice indépendant. Le même symbole n représente ici deux valeurs différentes dans des situations différentes.