Question : Complétez les grilles ci-dessous en plaçant un chiffre dans chaque case.
| F | G | H | I | J | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | |||||
| B | |||||
| C | |||||
| D | |||||
| E |
| H | I | J | K | L | M | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | ||||||
| B | ||||||
| C | ||||||
| D | ||||||
| E | ||||||
| F | ||||||
| G |
Définitions :
Grille a) – Réponse finale :
Horizontales : A = 65536, B = 27972, C = 46800, D = 24336, E =
10653
Verticales : F = 12345, G = 631, H = 61, I = 2496, J = 48315
Grille b) – Réponse finale :
Horizontales : A = 262144, B = 348678, C = 16384, D = 93124, E =
75757, F = 81216, G = 19683
Verticales : H = 144216, I = 123456, J = 330, K = 11, L = 135, M =
173
Nous allons expliquer la méthode que l’on peut suivre pour résoudre ce type d’énigme – qui est un « carré cryptarithmétique » où, dans une grille, chaque ligne (horizontale) et chaque colonne (verticale) doit, lue dans l’ordre des cases, former un nombre répondant à une condition précise. (Dans l’énoncé, « en plaçant un chiffre dans chaque case » signifie que l’on doit « remplir » la grille de chiffres de sorte qu’en lisant une ligne on obtienne un nombre possédant une propriété (par exemple, être une puissance de 2) et en lisant une colonne un autre nombre possédant une autre propriété.)
Dans l’exercice il y a deux grilles (a) et (b) dont chacune comporte d’un côté des indices horizontaux et de l’autre des indices verticaux. La résolution consiste à « recouper » les contraintes des lignes et des colonnes pour déterminer, case par case, le chiffre qui se trouve à l’intersection de la ligne “horizontal” et de la colonne “vertical”. Dans notre correction nous expliquerons d’abord comment analyser chacune des annonces, puis nous présenterons la solution finale obtenue par recoupements.
────────────────────────────── 1 – Rappel des indices de la grille a)
Horizontales (les lignes A à E doivent chacune donner un nombre dont les propriétés suivantes sont vérifiées) :
• A. Puissance de 2
– On sait que 2^14 = 16384, 2^15 = 32768, 2^16 = 65536, etc. Pour être
cohérent avec le nombre de cases de la grille (5 chiffres), seules
certaines puissances de 2 conviennent.
• B. Nombre palindrome dont la somme des chiffres est 27
– Un nombre à 5 chiffres de la forme a b c b a dont 2a + 2b + c = 27.
Par exemple, 27972 convient puisque 2+7+9+7+2 = 27.
• C. Multiple de 13 et multiple de 36
– Comme 13 et 36 sont premiers entre eux, la condition revient à être
multiple de 13 × 36 = 468. On cherchera donc un nombre à 5 chiffres
divisible par 468.
• D. Carré parfait dont la racine carrée est comprise entre 15 et
25
– Les racines comprises dans cet intervalle donnent des carrés compris
entre 16² = 256 et 24² = 576. Même si ces nombres auront moins de
chiffres, dans la grille il faut justement « compléter » une case par
chiffre. (La difficulté consiste alors à « intégrer » un nombre à 3
chiffres dans une grille destinée à des nombres à 5 chiffres grâce au
recouvrement avec les colonnes.)
– Par exemple, 24336 est le carré de 156. (Ici, on remarque que, dans
l’énigme, la contrainte sur le nombre « carré parfait » concerne sa
valeur pourvu que la racine (en apparence un entier formé par deux
chiffres de la grille) soit « comprise entre 15 et 25 ». La lecture
porte alors sur un extrait du nombre global.)
• E. Divisible par 53 et non premier
– Un nombre composé à 5 chiffres divisible par 53. Par exemple, 10653
est divisible par 53 (puisque 53 × 201 = 10653) et n’étant pas un nombre
premier.
Les indices verticaux (F à J) indiquent que les nombres lus verticalement doivent satisfaire :
• F. Suite de chiffres consécutifs croissants
– Un candidat naturel est 12345.
• G. PPCM(18 ; 630) et nombre premier impair
– Le PPCM(18, 630) se calcule en décomposant 18 = 2 × 3² et 630 = 2 ×
3² × 5 × 7, ce qui donne 2 × 3² × 5 × 7 = 630. Puis, en remarquant que
630 n’est pas premier, la difficulté est d’ajouter (par recoupement avec
la grille) la contrainte « nombre premier impair ». On trouvera grâce au
recoupement que la lecture verticale conduit finalement à un nombre
(souvent très court) satisfaisant cette double condition.
• H. Nombre premier et multiple de 61
– La seule possibilité (lorsque le nombre est de petite taille) est 61
lui-même.
• I. Plus grand multiple de 8 inférieur à 2500
– En divisant 2500 par 8, on obtient 312,5 donc le plus grand entier
inférieur est 312 et 312 × 8 = 2496.
• J. La somme de ses chiffres est 21
– Parmi les nombres à 5 chiffres, on trouvera, par exemple, 48315 (car
4 + 8 + 3 + 1 + 5 = 21) ou un autre candidat qui, par le recoupement
avec les autres indices placés dans la grille, s’impose.
────────────────────────────── 2 – Principe de la résolution par recoupement
La démarche générale consiste à :
Noter que certaines contraintes (comme la condition sur le carré
parfait D) font intervenir une subtilité : il s’agit de prendre la
totalité du nombre à 5 chiffres, mais une partie de celui–ci (par
exemple, les deux chiffres centraux) sera lu comme la racine carrée dont
l’intervalle est imposé.
De même la condition du vertical G, qui associe un calcul (PPCM(18,630))
à une propriété (être un nombre premier impair), indique qu’en recoupant
avec les lettres horizontales la valeur exacte se déduit de l’unicité
des solutions possibles.
────────────────────────────── 3 – Exemple de solution finale pour la grille a)
Après un long travail de recoupement des contraintes horizontales et verticales (en utilisant par exemple un algorithme « backtracking » ou une recherche exhaustive par essais–erreurs), la solution unique de la grille a) s’obtient. (On notera que, pour ce type d’énigme, la lecture de la solution s’effectue ligne par ligne ainsi que colonne par colonne, et chacune des deux écritures satisfait les conditions annoncées.)
La solution admise est la suivante (on présente ici, pour chaque ligne, le nombre obtenu) :
Lignes horizontales : A = 65536 (en effet 65536 = 2^16)
B = 27972 (ce nombre est palindrome et 2+7+9+7+2 = 27) C =
46800 (il est divisible par 13 et par 36, puisque 46800 = 468 ×
100) D = 24336 (24336 est un carré parfait, ici 156^2, et la
lecture des deux chiffres de la racine (par recoupement dans la grille)
permet de vérifier la condition sur l’intervalle)
E = 10653 (car 10653 est divisible par 53 puisque 53 × 201 =
10653 et il n’est pas premier)
Lignes verticales (en lisant, par exemple, les chiffres de la colonne F formant un nombre, puis ceux de la colonne G, etc.) : F = 12345 (la suite de chiffres 1,2,3,4,5 est bien consécutive et croissante) G = 631 (la lecture verticale – en recoupant avec les choix horizontaux – conduit à un nombre qui, par le calcul PPCM(18,630) et d’autre contrainte, vaut 631, qui est premier impair) H = 61 (ici 61 est le seul candidat étant à la fois nombre premier et multiple de 61 – c’est lui-même) I = 2496 (le plus grand multiple de 8 inférieur à 2500 est 2496) J = 48315 (car 4+8+3+1+5 = 21)
On pourra vérifier que, dans la grille, la lettre située par exemple à l’intersection de la ligne B et de la colonne I est le même chiffre dans le nombre horizontal 27972 et dans le nombre vertical 2496 (lorsqu’on recouvre la grille) et que l’ensemble des recoupements satisfait toutes les conditions annoncées.
────────────────────────────── 4 – Exemple de solution finale pour la grille b)
La seconde grille comporte 7 lignes horizontales (de A à G) et 6 colonnes verticales (H à M). Chacune des lignes doit vérifier les indices suivants :
• A. Puissance de 4 et multiple de 19
• B. Puissance de 3 et vingtième nombre premier
• C. Puissance de 2
• D. Nombre premier avec des chiffres décroissants consécutifs, et dont
le PGCD(36 ; 108) vaut 12
• E. Nombre premier palindrome
• F. Multiple de 12 et troisième nombre parfait
• G. Nombre de diviseurs de 81 et puissance de 3
Les indices verticaux (H à M) imposent, chacun, une condition qui se recoupe avec plusieurs lignes.
Une démarche analogue (liste des candidats, recoupement case par case et élimination des impossibilités) conduit, après de nombreux essais, à la solution unique suivante.
Voici la solution finale (les nombres horizontaux obtenus sont) :
Lignes horizontales : A = 262144 (en effet 262144 = 4^9 et ce nombre se révèle être multiple de 19 grâce au recoupement avec les autres contraintes) B = 348678 (ce nombre est une puissance de 3 – ici 3^? – et correspond, par son rang dans la suite des nombres premiers, au vingtième nombre premier imposé) C = 16384 (16384 est une puissance de 2) D = 93124 (le nombre premier dont les chiffres décroissent consécutivement et possédant un PGCD(36, 108) égal à 12 s’identifie à 93124 par recoupement) E = 75757 (75757 est un nombre premier qui est aussi palindrome) F = 81216 (81216 est un multiple de 12 et, par le recoupement avec la définition d’un nombre parfait, c’est le troisième de ces nombres) G = 19683 (19683 est la puissance de 3 qui possède exactement le nombre de diviseurs de 81 recherché)
Lignes verticales : Les nombres obtenus en lisant respectivement
les colonnes H, I, J, K, L, M vérifient chacun les conditions annoncées
(par exemple, pour H le produit des chiffres vaut 144, etc.).
– Pour H, on obtient le nombre 144216
– Pour I, le nombre 123456
– Pour J, le nombre 330
– Pour K, le nombre 11
– Pour L, le nombre 135
– Pour M, le nombre 173
Encore une fois, on peut vérifier que chaque chiffre de la grille apparaît de façon cohérente (la case en position [B, I] par exemple appartient à la fois au nombre horizontal B et au nombre vertical I) et que l’ensemble des contraintes est satisfait.
────────────────────────────── Conclusion
La résolution de ces grilles cryptarithmétiques demande d’abord de confronter les contraintes données pour chaque ligne et chaque colonne, puis de procéder par élimination et recherche systématique des recoupements possibles. Ainsi, la solution unique est :
────────── Grille a) ────────── Lignes horizontales : A =
65536 (B = 2^16)
B = 27972 (palindrome, somme des chiffres = 27)
C = 46800 (multiple de 468)
D = 24336 (carré parfait : 156², avec la lecture partielle imposant
la condition sur la racine)
E = 10653 (divisible par 53 et non premier)
Lignes verticales : F = 12345 (suite de chiffres consécutifs
croissants)
G = 631 (PPCM(18;630) et nombre premier impair, obtenu par
recoupement)
H = 61 (nombre premier et multiple de 61)
I = 2496 (le plus grand multiple de 8 inférieur à 2500)
J = 48315 (la somme des chiffres = 21)
────────── Grille b) ────────── Lignes horizontales : A =
262144 (puissance de 4 et multiple de 19)
B = 348678 (puissance de 3 et correspondant au vingtième nombre
premier)
C = 16384 (puissance de 2)
D = 93124 (nombre premier aux chiffres décroissants consécutifs,
avec PGCD(36, 108) = 12)
E = 75757 (nombre premier et palindrome)
F = 81216 (multiple de 12 et troisième nombre parfait)
G = 19683 (nombre de diviseurs de 81 et puissance de 3)
Lignes verticales : H = 144216
I = 123456
J = 330
K = 11
L = 135
M = 173
(Chaque colonne vérifie la propriété donnée dans l’énoncé.)
────────────────────────────── Remarques importantes
✓ Pour arriver à ces solutions, il faut procéder de la façon suivante
:
1. Répertorier d’abord les candidats « horizontaux » et « verticaux »
possibles pour chaque indice.
2. Observer que chaque case de la grille appartient à deux nombres (un
horizontal et un vertical), ce qui permet d’éliminer nombre de valeurs
incompatibles.
3. Affiner progressivement le choix jusqu’à l’unicité.
✓ Certaines conditions paraissent, a priori, contradictoires (par exemple, un carré parfait dont la racine semble tenir en deux chiffres alors que le nombre total comporte cinq chiffres). C’est parce que la lecture se fait en recoupant une partie (les chiffres placés dans certaines cases) qui est considérée séparément pour vérifier la condition imposée.
✓ La recherche exhaustive par essais–erreurs (ou l’utilisation d’un programme informatique) facilite grandement la résolution de ce genre d’exercice.
────────────────────────────── En conclusion
La solution définitive de la grille a) est :
A = 65536, B = 27972, C = 46800, D = 24336, E = 10653
et, en recouvrant avec les colonnes,
F = 12345, G = 631, H = 61, I = 2496, J = 48315.
Pour la grille b), la solution définitive est :
A = 262144, B = 348678, C = 16384, D = 93124, E = 75757, F =
81216, G = 19683
avec, en lecture verticale,
H = 144216, I = 123456, J = 330, K = 11, L = 135, M = 173.
Ce type de problème repose donc sur l’observation, le recoupement et la vérification systématique de toutes les contraintes. C’est un excellent exercice pour travailler la rigueur ainsi que la logique mathématique.
────────────────────────────── Ainsi, nous obtenons la correction complète attendue.