On considère un nombre naturel supérieur à 0.
On répète cette procédure avec le nouveau nombre obtenu.
Choisis un nombre inférieur à 15 et applique cette procédure une quinzaine de fois. Que observes-tu ?
Que se passe-t-il si tu choisis un autre nombre ?
Pour n < 15 (par exemple avec 8), la suite finit par entrer dans le cycle 2 → 6 → 2 → …, tandis que pour d’autres valeurs, elle augmente indéfiniment puisque l’opération « 2n + 2 » s’applique en continu.
Nous allons analyser la procédure étape par étape en prenant un exemple concret ainsi que son comportement général.
────────────────────────────── Exemple (partie a) : Choisissons le nombre 8 (qui est inférieur à 15).
Départ : n₀ = 8
– 8 n’est pas divisible par 3 (car 8 ÷ 3 ne donne pas un entier).
– On applique la règle « multiplier par 2 et ajouter 2 » :
n₁ = 8 × 2 + 2 = 16 + 2 = 18.
n₁ = 18
– 18 est divisible par 3 (18 ÷ 3 = 6).
– On applique la règle de la division :
n₂ = 18 ÷ 3 = 6.
n₂ = 6
– 6 est divisible par 3 (6 ÷ 3 = 2).
– Alors : n₃ = 6 ÷ 3 = 2.
n₃ = 2
– 2 n’est pas divisible par 3 (puisque 2 ÷ 3 ne donne pas un
entier).
– On applique la règle de la multiplication plus addition :
n₄ = 2 × 2 + 2 = 4 + 2 = 6.
n₄ = 6
– Comme déjà vu, 6 est divisible par 3 et conduit à :
n₅ = 6 ÷ 3 = 2.
Nous constatons alors que la suite forme le cycle suivant à partir de
n₃ :
2 → 6 → 2 → 6 → …
C’est une boucle qui se répète.
────────────────────────────── Observations pour la partie a)
Lorsque tu choisis un nombre comme 8 (ou tout autre nombre inférieur à 15), tu peux observer deux types de comportements :
• Dans certains cas (ici, avec 8), après quelques itérations, la
suite finit par atteindre les nombres 2 et 6 qui se reproduisent en
boucle.
• Dans d’autres cas, la suite peut suivre un chemin différent. Par
exemple, si tu choisis un nombre qui conduit à un nombre dont le reste
modulo 3 est égal à 1 (comme 1 ou 7), alors la règle « multiplier par 2
et ajouter 2 » s’applique toujours et la suite augmente d’un coup à
chaque étape.
────────────────────────────── Analyse générale (partie b)
Pour un nombre naturel supérieur à 0, l’évolution de la suite dépend du reste de la division de ce nombre par 3 :
Si le nombre est divisible par 3, tu divises le nombre par 3. La division tend à faire diminuer la valeur, ce qui peut, dans certains cas, amener la suite vers des valeurs plus faibles.
Si le nombre n’est pas divisible par 3, tu appliques la
transformation n → 2n + 2. Cette opération augmente la valeur.
– On remarque que, pour un nombre x, si x n’est pas divisible par 3,
alors x peut donner un reste de 1 ou 2 lorsqu’on le divise par 3.
• Si x ≡ 1 (mod 3), alors 2x + 2 ≡ 2×1 + 2 = 4 ≡ 1 (mod 3). Dans ce
cas, le nombre reste dans la classe des nombres dont le reste est 1 lors
de la division par 3 et la suite augmente notamment par l’opération « 2n
+ 2 ».
• Si x ≡ 2 (mod 3), alors 2x + 2 ≡ 2×2 + 2 = 6 ≡ 0 (mod 3), ce qui
rend le résultat divisible par 3. La prochaine étape sera donc une
division par 3. Parfois, cette division conduit à un nombre qui, lui,
aura pour reste 2 ou 1 modulo 3.
Ainsi, quel que soit le nombre que tu choisis, deux grandes situations peuvent se produire :
A. La suite finit par atteindre une valeur (ici le nombre 2) qui, lorsqu’on lui applique la procédure, lui fait revenir à 6, et inversement. On observe alors une boucle répétitive (cycle 2 → 6 → 2 → 6 → …).
B. La suite ne rencontre jamais une situation de division par 3 (ou, une fois divisée, elle retombe sur un nombre dont le reste reste 1) et la transformation « 2n + 2 » est alors appliquée à chaque étape. Dans ce cas, la valeur des nombres augmente rapidement.
────────────────────────────── Conclusion
En effectuant la procédure avec un nombre inférieur à 15, comme 8, tu peux observer qu’après quelques itérations la suite peut atteindre un cycle répétitif, ici le cycle formé par 2 et 6. Cependant, selon le nombre choisi, la suite peut aussi commencer en augmentant progressivement si les conditions de divisibilité ne conduisent pas à entrer dans ce cycle.
Si tu choisis un autre nombre, le comportement de la suite dépendra du reste de ce nombre modulo 3. Certains nombres mèneront à la répétition du cycle 2–6 tandis que d’autres feront croître la suite au fil des itérations. Ce phénomène montre que la procédure conduit soit à une répétition périodique soit à une augmentation constante suivant la valeur de départ.