Question : Est-il vrai que :
La somme de deux nombres pairs consécutifs est-elle toujours un multiple de 4 ?
Le produit de deux nombres impairs consécutifs est-il toujours divisible par 3 ?
Le produit de trois nombres pairs consécutifs est-il toujours multiple de 8 ?
La somme de deux nombres naturels consécutifs est-elle toujours paire ?
Faux
Faux
Vrai
Faux
Nous allons examiner chacune des propositions une par une pour déterminer si elles sont vraies ou fausses.
Réponse : Oui, la somme de deux nombres pairs consécutifs est toujours un multiple de 4.
Explication :
Considérons deux nombres pairs consécutifs. Par définition, un nombre pair peut s’écrire sous la forme \(2k\), où \(k\) est un entier naturel.
Soit le premier nombre pair : \(2k\).
Le nombre pair consécutif suivant sera : \(2k + 2\) (puisque les nombres pairs sont espacés de 2).
Calculons la somme des deux nombres pairs consécutifs :
\[ 2k + (2k + 2) = 4k + 2 \]
Cependant, cette expression \(4k + 2\) semble suggérer qu’elle n’est pas nécessairement un multiple de 4. Il y a une erreur dans cette approche initiale.
Reconsidérons :
En réalité, pour deux nombres pairs consécutifs, l’espacement est de 2, donc la somme serait :
\[ 2k + (2k + 2) = 4k + 2 = 2(2k + 1) \]
Cette somme est clairement divisible par 2, mais pour qu’elle soit un multiple de 4, elle doit être divisible par 4.
Pour que \(4k + 2\) soit divisible par 4, \(2\) doit être divisible par 4, ce qui n’est pas le cas.
Conclusion : La somme de deux nombres pairs consécutifs n’est pas toujours un multiple de 4. Par exemple, prenons \(2\) et \(4\) :
\[ 2 + 4 = 6 \quad \text{qui n'est pas divisible par 4.} \]
Réponse : Non, le produit de deux nombres impairs consécutifs n’est pas toujours divisible par 3.
Explication :
Un nombre impair peut être exprimé sous la forme \(2k + 1\), où \(k\) est un entier naturel.
Considérons deux nombres impairs consécutifs :
Calculons leur produit :
\[ (2k + 1)(2k + 3) = 4k^2 + 8k + 3 = 4k(k + 2) + 3 \]
Pour que ce produit soit divisible par 3, \(4k(k + 2) + 3\) doit être divisible par 3.
Simplifions l’expression modulo 3 :
\[ 4k(k + 2) \equiv k(k + 2) \pmod{3} \]
Donc,
\[ k(k + 2) + 3 \equiv k^2 + 2k + 0 \pmod{3} \]
Analysons les valeurs possibles de \(k\) modulo 3 :
Si \(k \equiv 0 \pmod{3}\) : \[ 0^2 + 2 \times 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \equiv 0 \pmod{3} \] Le produit est divisible par 3.
Si \(k \equiv 1 \pmod{3}\) : \[ 1^2 + 2 \times 1 = 1 + 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad \equiv 0 \pmod{3} \] Le produit est divisible par 3.
Si \(k \equiv 2 \pmod{3}\) : \[ 2^2 + 2 \times 2 = 4 + 4 = 8 \quad \Rightarrow \quad \equiv 2 \pmod{3} \] Le produit n’est pas divisible par 3.
Exemple :
Prenons \(3\) et \(5\) (nombres impairs consécutifs) :
\[ 3 \times 5 = 15 \quad \text{qui est divisible par 3.} \]
Prenons \(5\) et \(7\) :
\[ 5 \times 7 = 35 \quad \text{qui n'est pas divisible par 3.} \]
Conclusion : Le produit de deux nombres impairs consécutifs n’est pas toujours divisible par 3.
Réponse : Oui, le produit de trois nombres pairs consécutifs est toujours multiple de 8.
Explication :
Considérons trois nombres pairs consécutifs. Chaque nombre pair peut s’écrire sous la forme \(2k\), où \(k\) est un entier naturel.
Soient les trois nombres pairs consécutifs :
Leur produit est :
\[ 2k \times (2k + 2) \times (2k + 4) \]
Factorisons le 2 de chaque terme :
\[ 2k \times (2(k + 1)) \times (2(k + 2)) = 2 \times 2 \times 2 \times k \times (k + 1) \times (k + 2) = 8 \times k(k + 1)(k + 2) \]
Ainsi,
\[ 2k \times (2k + 2) \times (2k + 4) = 8 \times k(k + 1)(k + 2) \]
Le produit est donc un multiple de 8.
Exemple :
Prenons \(2\), \(4\) et \(6\) :
\[ 2 \times 4 \times 6 = 48 \quad \text{qui est divisible par 8.} \]
Réponse : Oui, la somme de deux nombres naturels consécutifs est toujours paire.
Explication :
Considérons deux nombres naturels consécutifs. Supposons le premier nombre naturel est \(n\), où \(n\) est un entier naturel.
Le nombre naturel consécutif suivant sera \(n + 1\).
Calculons leur somme :
\[ n + (n + 1) = 2n + 1 \]
Cependant, cette expression \(2n + 1\) est impaire, ce qui semble contredire notre affirmation initiale. Il y a une confusion ici.
Revenons à la définition :
Un nombre naturel peut être pair ou impair.
Si \(n\) est pair : \(n = 2k\) \[ n + (n + 1) = 2k + (2k + 1) = 4k + 1 \quad \text{(impair)} \]
Si \(n\) est impair : \(n = 2k + 1\) \[ n + (n + 1) = (2k + 1) + (2k + 2) = 4k + 3 \quad \text{(impair)} \]
Dans les deux cas, la somme est impaire.
Exemple :
Prenons \(3\) et \(4\) :
\[ 3 + 4 = 7 \quad \text{(impair)} \]
Prenons \(5\) et \(6\) :
\[ 5 + 6 = 11 \quad \text{(impair)} \]
Conclusion : La somme de deux nombres naturels consécutifs est toujours impaire, et non paire.
Faux – La somme de deux nombres pairs consécutifs n’est pas toujours un multiple de 4.
Faux – Le produit de deux nombres impairs consécutifs n’est pas toujours divisible par 3.
Vrai – Le produit de trois nombres pairs consécutifs est toujours multiple de 8.
Faux – La somme de deux nombres naturels consécutifs est toujours impaire.