Question : Prouve que les énoncés suivants sont vrais quels que soient les nombres choisis.
La différence de deux multiples d’un même nombre est encore un multiple de ce nombre.
La somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4.
Le cube d’un nombre pair est pair.
Le cube d’un nombre impair est impair.
Lorsque l’on multiplie les côtés d’un carré par 4, son aire est multipliée par 16.
Réponses courtes : a) Vrai. La différence de deux multiples d’un nombre est encore un multiple de ce nombre. b) Faux. La somme de quatre entiers consécutifs s’écrit 4(n + 1) + 2, donc elle n’est pas divisible par 4. c) Vrai. Le cube d’un nombre pair reste pair. d) Vrai. Le cube d’un nombre impair reste impair. e) Vrai. Multiplier le côté d’un carré par 4 multiplie son aire par 16.
Nous allons démontrer, étape par étape, chacun des énoncés proposés. Avant de commencer, il est important de remarquer que pour l’énoncé (b), nous verrons que, si l’on considère quatre nombres entiers consécutifs au sens usuel (c’est‑à‑dire n, n + 1, n + 2, n + 3), la somme obtenue n’est pas divisible par 4 mais s’exprime sous la forme 4k + 2. Ainsi, cet énoncé n’est pas vrai pour tout entier. Vous trouverez ci‑après le détail des raisonnements pour chacun :
────────────────────────────── a) La différence de deux multiples d’un même nombre est encore un multiple de ce nombre.
Supposons qu’on ait un nombre fixe k (qui peut être non nul) et deux entiers m et n. Par définition, • un multiple de k s’écrit k × m, • un autre multiple de k s’écrit k × n. La différence entre ces deux multiples est : k × m − k × n = k (m − n). Ici, (m − n) est encore un entier, ce qui montre que k (m − n) est un multiple de k. Conclusion : La différence de deux multiples d’un même nombre est un multiple de ce nombre.
────────────────────────────── b) La somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4.
Soit n un entier. Les quatre entiers consécutifs sont : n, n + 1, n + 2, n + 3. Leur somme S est : S = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6. Nous pouvons écrire cette somme sous la forme : 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n + 1) + 2. Ici, la partie 4(n + 1) est clairement un multiple de 4, mais il reste le +2. Cela signifie que : S = 4k + 2 avec k = n + 1. Par exemple, pour n = 1 on a : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4 × 2 + 2. Ici, 10 n’est pas un multiple de 4. Ainsi, en général, la somme de quatre nombres entiers consécutifs s’exprime sous la forme 4k + 2 et n’est pas divisible par 4. Conclusion : L’énoncé (b) n’est pas vrai pour tous les entiers.
────────────────────────────── c) Le cube d’un nombre pair est pair.
Un nombre pair s’écrit sous la forme 2k, où k est un entier. Calculons le cube de 2k : (2k)³ = 2³ × k³ = 8k³. Or, 8k³ se factorise en 2 × (4k³), ce qui est clairement un multiple de 2. Conclusion : Le cube d’un nombre pair est pair.
────────────────────────────── d) Le cube d’un nombre impair est impair.
Un nombre impair s’écrit sous la forme 2k + 1, où k est un entier. Calculons le cube de 2k + 1 : (2k + 1)³ = (2k + 1)(2k + 1)(2k + 1). Développons d’abord (2k + 1)² : (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1. Donc, (2k + 1)³ = (4k² + 4k + 1)(2k + 1). En développant : (4k² + 4k + 1)(2k + 1) = 8k³ + 8k² + 2k + 4k² + 4k + 1 = 8k³ + (8k² + 4k²) + (2k + 4k) + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1. On peut remarquer que 8k³, 12k² et 6k sont tous des multiples de 2, c’est-à-dire des nombres pairs. En les regroupant : 8k³ + 12k² + 6k = 2(4k³ + 6k² + 3k). Donc, (2k + 1)³ = 2(4k³ + 6k² + 3k) + 1. Cela montre que le cube d’un nombre impair est de la forme 2q + 1 (avec q = 4k³ + 6k² + 3k), ce qui signifie qu’il est impair. Conclusion : Le cube d’un nombre impair est impair.
────────────────────────────── e) Lorsque l’on multiplie les côtés d’un carré par 4, son aire est multipliée par 16.
Soit un carré de côté L. Son aire est : A = L². Si l’on multiplie la longueur du côté par 4, le nouveau côté vaut 4L. L’aire du nouveau carré est alors : A’ = (4L)² = 16L². On observe que : A’ = 16 × (L²) = 16A. Conclusion : Lorsque les côtés d’un carré sont multipliés par 4, son aire est multipliée par 16.
────────────────────────────── Récapitulatif final :
• a) En exprimant les deux multiples sous forme algébrique, leur différence est un multiple du nombre considéré. • b) En écrivant la somme de quatre entiers consécutifs, on obtient 4(n + 1) + 2, ce qui montre que, pour tout entier n, la somme laisse toujours un reste de 2 lorsqu’on la divise par 4. L’énoncé n’est donc pas vrai dans ce cas. • c) Le cube d’un nombre pair se factorise et reste pair. • d) Le cube d’un nombre impair se développe sous la forme d’un nombre pair plus 1, ce qui est impair. • e) L’aire d’un carré est proportionnelle au carré de son côté, ainsi multiplier le côté par 4 multiplie l’aire par 4² = 16.
Chaque démonstration utilise une écriture algébrique claire pour établir la validité (ou, dans le cas de b), l’invalidité) des énoncés pour tous les nombres concernés.