Question : Prouve que la fraction \(\frac{45}{128}\) est irréductible.
La fraction 45/128 est irréductible car 45 = 3²×5 et 128 = 2⁷ n’ont aucun facteur commun, donc leur PGCD est 1.
Pour montrer que la fraction 45/128 est irréductible, il faut prouver que le plus grand commun diviseur (PGCD) de 45 et 128 est égal à 1.
Étape 1 : Décomposition en facteurs premiers
• 45 se décompose en facteurs premiers :
45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5
• 128 se décompose en facteurs premiers :
128 = 2 × 64 = 2 × 2 × 32 = …
On peut remarquer que 128 = 2⁷
On constate que 45 est composé des facteurs 3 et 5, tandis que 128 est composé uniquement du facteur 2. Aucun facteur commun n’est présent.
Étape 2 : Conclusion par l’absence de facteur commun
Puisque 45 et 128 n’ont aucun facteur premier en commun, leur PGCD est
1.
On déduit ainsi que la fraction 45/128 ne peut être simplifiée, ce qui
signifie qu’elle est irréductible.
Ainsi, nous avons démontré que la fraction 45/128 est irréductible.