Exercices corrigés - Divisibilité, multiples et diviseurs - 11e

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Exercice 1

Difficulté : 20/100

Question : Calcule \(4 \times 7 \times 3\). Déduis-en que 21 est un diviseur de 84.

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Exercice 2

Difficulté : 15/100

Question : Prouve que la fraction \(\frac{45}{128}\) est irréductible.

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Exercice 3

Difficulté : 25/100

Question : Prouve que les énoncés suivants sont vrais quels que soient les nombres choisis.

1. La différence de deux multiples d’un même nombre est encore un multiple de ce nombre.

2. La somme de quatre nombres entiers consécutifs est un multiple de 4.

3. Le cube d’un nombre pair est pair.

4. Le cube d’un nombre impair est impair.

5. Lorsque l’on multiplie les côtés d’un carré par 4, son aire est multipliée par 16.

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Exercice 4

Difficulté : 30/100

Question : Est-il vrai que :

1. La somme de deux nombres pairs consécutifs est-elle toujours un multiple de 4 ?

2. Le produit de deux nombres impairs consécutifs est-il toujours divisible par 3 ?

3. Le produit de trois nombres pairs consécutifs est-il toujours multiple de 8 ?

4. La somme de deux nombres naturels consécutifs est-elle toujours paire ?

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Exercice 5

Difficulté : 40/100

On considère un nombre naturel supérieur à 0.

• Si ce nombre est divisible par 3, on le divise par 3 pour obtenir un nouveau nombre.
• Sinon, on multiplie ce nombre par 2 et on ajoute 2 pour obtenir un nouveau nombre.

On répète cette procédure avec le nouveau nombre obtenu.

1. Choisis un nombre inférieur à 15 et applique cette procédure une quinzaine de fois. Que observes-tu ?

2. Que se passe-t-il si tu choisis un autre nombre ?

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Exercice 6

Difficulté : 75/100

Question : Complétez les grilles ci-dessous en plaçant un chiffre dans chaque case.

a) Horizontalement

• A. Puissance de 2
• B. Nombre palindrome dont la somme des chiffres est 27
• C. Multiple de 13 et multiple de 36
• D. Carré parfait dont la racine carrée est comprise entre 15 et 25
• E. Divisible par 53 et non premier

Verticalement

• F. Suite de chiffres consécutifs croissants
• G. PPCM(18 ; 630) et nombre premier impair
• H. Nombre premier et multiple de 61
• I. Plus grand multiple de 8 inférieur à 2500
• J. La somme de ses chiffres est 21

Grille Horizontale

	F	G	H	I	J
A
B
C
D
E

b) Horizontalement

• A. Puissance de 4 et multiple de 19
• B. Puissance de 3 et vingtième nombre premier
• C. Puissance de 2
• D. Nombre premier avec des chiffres décroissants consécutifs, PGCD(36 ; 108), égal à 12
• E. Nombre premier palindrome
• F. Multiple de 12 et troisième nombre parfait
• G. Nombre de diviseurs de 81 et puissance de 3

Verticalement

• H. Le produit de ses chiffres est 144
• I. Multiple de 12 ou nombre premier
• J. Diviseur de 330 et nombre de poignées de mains échangées entre douze personnes
• K. Nombre premier dont le chiffre des unités est égal au chiffre des dizaines et inférieur à 6
• L. Le carré du produit de ses chiffres est 20 736 et le nombre est composé de chiffres impairs
• M. Nombre premier égal à \(1729^\circ\) et un de plus qu’un nombre premier

Grille Horizontale

	H	I	J	K	L	M
A
B
C
D
E
F
G

Définitions :

• Palindrome : Un mot, vers ou phrase qui se lit de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche, par exemple “ressasser”.
• Nombre parfait : Un nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, 28 est un nombre parfait.

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Exercice 7

Difficulté : 40/100

Question : Calcule le nombre \(n\) sachant que :

1. Dans la division euclidienne de 84 par \(n\), le quotient est 6 et le reste est 12.
2. Dans la division euclidienne de 200 par 25, le quotient est 7 et le reste est \(n\).

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Exercice 8

Difficulté : 25/100

Question : On donne l’égalité \(8254 = 154 \cdot 53 + 92\). Quel est le reste de la division euclidienne :

1. de \(8254\) par \(154\) ?

2. de \(8254\) par \(53\) ?

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Exercice 9

Difficulté : 30/100

Question :

1. Comment s’écrit un multiple de \(15\) ?

2. Démontre qu’un multiple de \(15\) est également un multiple de \(3\).

3. Démontre que la somme de deux multiples de \(15\) est un multiple de \(15\).

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Exercice 10

Difficulté : 40/100

Question : Vrai ou faux ? Dans l’ensemble \(\mathbb{N}\) :

1. Est-ce que tout nombre est divisible par un ?

2. Est-ce qu’aucun nombre n’est divisible par lui-même ?

3. Est-ce que si \(a\) est divisible par deux, alors \(a\) est impair ?

4. Est-ce que si \(a\) et \(b\) sont divisibles par trois, alors \(a + b\) est divisible par trois ?

5. Est-ce que si \(a\) est divisible par cinq, alors \(a \times 2\) est divisible par dix ?

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Exercice 11

Difficulté : 30/100

1. Écris la liste des diviseurs de \(2620\) et de \(2924\).

• 2620 :

• 2924 :

2. Deux nombres sont dits amicaux si la somme de leurs diviseurs est égale. Montre que \(2620\) et \(2924\) sont amicaux.

3. Montre que \(5020\) et \(5564\) sont amicaux.

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Exercice 12

Difficulté : 20/100

Question : Un nombre entier positif \(N\) est dit divisible par la somme de ses chiffres si la somme de ses chiffres divise \(N\) sans reste.

Par exemple, le nombre \(12\) a pour chiffres \(1\) et \(2\). De plus, \(1 + 2 = 3\) et \(12\) est divisible par \(3\) (\(12 \div 3 = 4\)). Ainsi, \(12\) est divisible par la somme de ses chiffres.

Montre que \(18\) et \(24\) sont des nombres divisibles par la somme de leurs chiffres.

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