Exercice de Mathématiques :
| Matière | Masse (en kg) | Volume (en cm³) | Masse volumique (en kg/m³) | Masse volumique (en g/cm³) |
|---|---|---|---|---|
| Bois | 3,2 | 1500 | ||
| Huile végétale | 8,5 | 920 | ||
| Aluminium | 100 | 2,70 | ||
| Silicone | 0,9 | 1,05 | ||
| Quartz | 0,25 | 80 | ||
| Lait | ||||
| Éthanol | 30,2 | 1200 | 755 | |
| Argent | 15,225 |
Un investissement a été réalisé pendant 6 mois à un taux d’intérêt annuel de 3 %. Ce placement a généré 15 CHF d’intérêts. Quel était le capital initial ?
Un vélo parcourt 45 km en 1 heure et 15 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Un train roule à une vitesse moyenne de 90 km/h.
25 dm³ de riz pèsent 18 kg. Quelle est la masse volumique (ρ) du riz ?
La masse volumique de l’argent est de 10,5 kg/dm³. Quel est le volume d’une pièce en argent dont la masse est de 52,5 kg ?
Le débit moyen de la Loire, une rivière française, est normalement de 5,2 m³/s. Quel volume d’eau passe sous un de ses ponts en 2 heures ?
Un tuyau d’arrosage, ayant un débit de 20 dm³/min, est utilisé pour remplir un bassin de jardin d’une capacité de 1000 l. En combien de temps sera-t-il complètement rempli ?
Réponses synthétiques :
1a) Tableau complété
• Bois : 3,2 kg, 1500 cm³, ≈2133 kg/m³ (2,13 g/cm³)
• Huile végétale : 8,5 kg, ≈9239 cm³, 920 kg/m³ (0,92 g/cm³)
• Aluminium : 0,27 kg, 100 cm³, 2700 kg/m³ (2,70 g/cm³)
• Silicone : 0,9 kg, ≈857 cm³, 1050 kg/m³ (1,05 g/cm³)
• Quartz : 0,25 kg, 80 cm³, 3125 kg/m³ (3,125 g/cm³)
• Lait : données manquantes
• Éthanol : 30,2 kg, 1200 cm³, 755 kg/m³ (0,755 g/cm³)
• Argent : 15,225 kg, ≈1450 cm³, 10500 kg/m³ (10,5 g/cm³)
1b) Seule l’éthanol (0,755 g/cm³) flotte sur l’huile végétale (0,92 g/cm³).
Capital initial = 1000 CHF.
Vitesse moyenne du vélo = 36 km/h.
4a) Distance parcourue en 50 minutes = 75 km.
4b) Temps pour 180 km = 2 heures.
Masse volumique du riz = 0,72 kg/dm³ (720 kg/m³ ou 0,72 g/cm³).
Volume d’une pièce en argent = 5 dm³ (soit 0,005 m³).
Volume d’eau ayant passé sous le pont en 2 heures = 37440 m³.
Temps de remplissage du bassin = 50 minutes.
Voici la correction pas à pas de l’exercice :
────────────────────────────── Exercice 1 – Compléter le tableau
On travaille avec les notions de masse, volume et masse volumique. La formule générale est :
masse volumique = masse / volume
Attention aux unités :
• Pour obtenir la masse volumique en kg/m³, il faut convertir le volume
de cm³ en m³ (1 m³ = 1 000 000 cm³).
• Pour obtenir la masse volumique en g/cm³, on convertit la masse en
grammes (1 kg = 1000 g) et on reste avec le volume en cm³.
Nous allons remplir, ligne par ligne, les cases manquantes.
────────────────────────────── 1a) Compléter le tableau
On note pour le bois :
Masse volumique = environ 2133 kg/m³ et 2,13 g/cm³
────────────────────────────── 2. Matière : Huile végétale
Données : masse = 8,5 kg, masse volumique indiquée en kg/m³ = 920
• On peut déterminer le volume en m³ :
volume = masse ÷ masse volumique = 8,5 kg ÷ 920 ≈ 0,009239 m³
Pour obtenir le volume en cm³, on multiplie par 1 000 000 :
volume ≈ 0,009239 × 1 000 000 ≈ 9239 cm³
• Calcul de la masse volumique en g/cm³ :
920 kg/m³ correspond à 920 ÷ 1000 = 0,92 g/cm³
On note pour l’huile végétale :
Volume ≈ 9239 cm³ et masse volumique ≈ 920 kg/m³ (0,92 g/cm³)
────────────────────────────── 3. Matière : Aluminium
Données : volume = 100 cm³, masse volumique indiquée en g/cm³ =
2,70
• Pour trouver la masse, on utilise la formule en g :
masse (en g) = densité (en g/cm³) × volume
masse = 2,70 × 100 = 270 g = 0,27 kg
• Pour obtenir la masse volumique en kg/m³, on convertit :
2,70 g/cm³ correspond à 2,70 × 1000 = 2700 kg/m³
On note pour l’aluminium :
Masse = 0,27 kg, Masse volumique = 2700 kg/m³ et 2,70 g/cm³
────────────────────────────── 4. Matière : Silicone
Données : masse = 0,9 kg, densité en g/cm³ = 1,05
• Calcul du volume en cm³ :
D’abord, convertir la masse en grammes : 0,9 kg = 900 g
volume = masse (en g) ÷ densité (en g/cm³) = 900 ÷ 1,05 ≈ 857,14
cm³
• Masse volumique en kg/m³ :
1,05 g/cm³ correspond à 1,05 × 1000 = 1050 kg/m³
On note pour le silicone :
Volume ≈ 857 cm³, Masse volumique = 1050 kg/m³ et 1,05 g/cm³
────────────────────────────── 5. Matière : Quartz
Données : masse = 0,25 kg, volume = 80 cm³
• Conversion du volume en m³ :
80 cm³ = 80 ÷ 1 000 000 = 0,00008 m³
• Calcul de la masse volumique en kg/m³ :
ρ = 0,25 kg ÷ 0,00008 m³ = 3125 kg/m³
• Calcul en g/cm³ :
0,25 kg = 250 g donc densité = 250 ÷ 80 ≈ 3,125 g/cm³
On note pour le quartz :
Masse volumique ≈ 3125 kg/m³ et 3,125 g/cm³
────────────────────────────── 6. Matière : Lait
Données : Aucune information fournie pour la masse et le volume.
On laisse les cases vides car aucun calcul n’est possible sans
données.
────────────────────────────── 7. Matière : Éthanol
Données : masse = 30,2 kg, volume = 1200 cm³, masse volumique indiquée
en kg/m³ = 755
• Même si le calcul direct ne correspond pas avec les données (car 1200
cm³ = 0,0012 m³, et 30,2 ÷ 0,0012 ≈ 25167 kg/m³), on se base sur la
valeur indiquée dans le tableau.
• Calcul de la masse volumique en g/cm³ à partir de 755 kg/m³ :
755 ÷ 1000 = 0,755 g/cm³
On note pour l’éthanol :
Masse volumique = 755 kg/m³ et 0,755 g/cm³
(Remarque : il existe une incohérence entre la masse, le volume et la
densité indiquée, mais nous utilisons les valeurs données dans le
tableau.)
────────────────────────────── 8. Matière : Argent
Données : masse = 15,225 kg
En lien avec la question 6 (voir ci-dessous), la masse volumique de
l’argent est donnée dans l’énoncé de la question 6 :
La masse volumique de l’argent est de 10,5 kg/dm³.
• Conversion en kg/m³ :
1 kg/dm³ = 1000 kg/m³ donc 10,5 kg/dm³ = 10,5 × 1000 = 10500
kg/m³
• De même, en g/cm³, 10,5 kg/dm³ = 10,5 g/cm³
• Calcul du volume :
Volume en m³ = masse ÷ densité = 15,225 kg ÷ 10500 kg/m³ ≈ 0,00145
m³
Pour obtenir le volume en cm³, on multiplie par 1 000 000 :
volume ≈ 0,00145 × 1 000 000 ≈ 1450 cm³
On note pour l’argent :
Volume ≈ 1450 cm³, Masse volumique = 10500 kg/m³ et 10,5 g/cm³
────────────────────────────── Récapitulatif du tableau complété :
Bois 3,2 1500 ≈2133 ≈2,13
Huile végétale 8,5 ≈9239 920 0,92
Aluminium 0,27 100 2700 2,70
Silicone 0,9 ≈857 1050 1,05
Quartz 0,25 80 3125 3,125
Lait – – – –
Éthanol 30,2 1200 755 0,755
Argent 15,225 1450 10500 10,5
────────────────────────────── 1b) Matières qui flottent sur l’huile végétale
Pour qu’un objet flotte sur un liquide, sa masse volumique (ou densité) doit être inférieure à celle du liquide. Ici, la masse volumique de l’huile végétale est de 0,92 g/cm³.
Examinons les densités des autres matières (d’après le tableau) : •
Bois : ≈2,13 g/cm³ → plus élevé → coule
• Aluminium : 2,70 g/cm³ → coule
• Silicone : 1,05 g/cm³ → coule (puisque 1,05 > 0,92)
• Quartz : 3,125 g/cm³ → coule
• Éthanol : 0,755 g/cm³ → inférieur à 0,92 → flotte
• Argent : 10,5 g/cm³ → coule
(Remarque sur le lait : les données manquent, mais généralement la densité du lait est légèrement supérieure à celle de l’huile.)
Ainsi, seule l’éthanol, avec une densité de 0,755 g/cm³, flotte sur l’huile végétale.
────────────────────────────── Exercice 2 – Calcul du capital initial pour un placement
Données :
• Durée de l’investissement = 6 mois = 0,5 an
• Taux d’intérêt annuel = 3 % = 0,03
• Intérêts obtenus = 15 CHF
La formule des intérêts simples est :
Intérêts = Capital initial × taux × durée
On cherche le capital initial (C) : C = Intérêts ÷ (taux ×
durée)
C = 15 CHF ÷ (0,03 × 0,5)
C = 15 ÷ 0,015
C = 1000 CHF
────────────────────────────── Exercice 3 – Vitesse moyenne d’un vélo
Données :
• Distance parcourue = 45 km
• Durée = 1 heure et 15 minutes = 1 + 15/60 = 1,25 h
La vitesse moyenne se calcule par :
v = distance ÷ temps
v = 45 km ÷ 1,25 h = 36 km/h
────────────────────────────── Exercice 4 – Calculs avec un train roulant à 90 km/h
Distance parcourue en 50 minutes
• 50 minutes = 50 ÷ 60 = 0,833… h (exactement 5/6 h)
• Distance = vitesse × temps = 90 km/h × (5/6 h) = 90 × 0,8333 ≈ 75
km
Temps nécessaire pour parcourir 180 km
• Temps = distance ÷ vitesse = 180 km ÷ 90 km/h = 2 h
────────────────────────────── Exercice 5 – Masse volumique du riz
Données :
• Volume du riz = 25 dm³
• Masse = 18 kg
La masse volumique (ρ) s’obtient par :
ρ = masse ÷ volume
ρ = 18 kg ÷ 25 dm³ = 0,72 kg/dm³
Sachant qu’1 kg/dm³ équivaut à 1000 kg/m³, on peut aussi écrire
:
ρ = 0,72 × 1000 = 720 kg/m³
(De même, 0,72 kg/dm³ = 0,72 g/cm³)
────────────────────────────── Exercice 6 – Volume d’une pièce en argent
Données :
• Masse volumique de l’argent = 10,5 kg/dm³
• Masse de la pièce = 52,5 kg
On utilise la relation :
Volume = masse ÷ masse volumique
Volume = 52,5 kg ÷ 10,5 kg/dm³ = 5 dm³
Si l’on souhaite convertir en m³, sachant que 1 dm³ = 0,001 m³, alors
:
Volume = 5 × 0,001 = 0,005 m³
────────────────────────────── Exercice 7 – Volume d’eau passant sous le pont
Données :
• Débit de la Loire = 5,2 m³/s
• Durée = 2 heures
Conversion de la durée en secondes :
2 heures = 2 × 3600 s = 7200 s
Le volume total d’eau est :
Volume = débit × temps = 5,2 m³/s × 7200 s = 37440 m³
────────────────────────────── Exercice 8 – Temps pour remplir un bassin avec un tuyau
Données :
• Débit du tuyau = 20 dm³/min
• Capacité du bassin = 1000 L
Remarque : 1 L = 1 dm³, donc le bassin a un volume de 1000 dm³.
Le temps nécessaire est donné par :
temps = volume ÷ débit = 1000 dm³ ÷ 20 dm³/min = 50 minutes
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
1a) Tableau complété :
Matière Masse (kg) Volume (cm³) Masse volumique (kg/m³) Masse
volumique (g/cm³)
• Bois 3,2 1500 ≈2133 ≈2,13
• Huile végétale 8,5 ≈9239 920 0,92
• Aluminium 0,27 100 2700 2,70
• Silicone 0,9 ≈857 1050 1,05
• Quartz 0,25 80 3125 3,125
• Lait – – – –
• Éthanol 30,2 1200 755 0,755
• Argent 15,225 1450 10500 10,5
1b) Parmi ces matières, seule l’éthanol, avec une masse volumique d’environ 0,755 g/cm³ (inférieure à 0,92 g/cm³ pour l’huile végétale), flotte sur l’huile végétale.
Capital initial = 1000 CHF.
Vitesse moyenne du vélo = 36 km/h.
4a) Distance parcourue par le train en 50 minutes = 75 km.
4b) Temps pour parcourir 180 km = 2 heures.
Masse volumique du riz = 0,72 kg/dm³, soit 720 kg/m³ (ou 0,72 g/cm³).
Volume de la pièce en argent = 5 dm³ (soit 0,005 m³).
Volume d’eau ayant passé sous le pont en 2 heures = 37440 m³.
Temps nécessaire pour remplir le bassin = 50 minutes.
Cette correction détaillée présente la méthode et les calculs à chaque étape afin de bien comprendre la démarche.