Question : Construis un polygone régulier à \(7\) côtés.
La construction exacte d’un heptagone n’est pas possible avec la règle et le compas parce que 7 ne peut pas être écrit sous la forme 2^k × p1 × … × pm, condition nécessaire d’après le théorème de Gauss-Wantzel.
Nous allons montrer, étape par étape, pourquoi il n’est pas possible de réaliser une construction exacte d’un polygone régulier à 7 côtés (un heptagone) en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas.
| 1. Vérification de la somme des angles intérieurs |
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| 2. Critère de constructibilité par règle et compas |
| • Un résultat célèbre de la géométrie (résultant d’études menées par Gauss et Wantzel) précise qu’un polygone régulier à n côtés est construisible de manière exacte (c’est-à-dire à l’aide d’une règle et d’un compas) si et seulement si le nombre n peut s’écrire sous la forme : n = 2^k × p1 × p2 × … × pm, où k est un entier naturel et chaque nombre p1, p2, …, pm est un nombre premier particulier (on les appelle nombres premiers de Fermat). Les nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257, 65537. |
• Ici, n = 7. • On remarque que 7 ne peut s’écrire ni comme une puissance de 2, ni comme le produit d’une puissance de 2 avec un ou plusieurs nombres premiers de Fermat, car 7 n’appartient pas à la liste (3, 5, 17, 257, 65537). • Par conséquent, d’après le théorème de Gauss-Wantzel, il n’existe pas de construction exacte d’un heptagone régulier en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas.
• Bien que l’on puisse calculer et approximativement dessiner un heptagone régulier (par exemple en traçant un cercle et en utilisant des méthodes numériques pour repérer des points répartis uniformément autour de celui-ci), il n’existe pas de construction géométrique exacte suivant les méthodes classiques d’Euclide.
Ainsi, la réponse à la question « Construis un polygone régulier à 7 côtés » est que, dans le cadre de la géométrie classique (règle et compas), il n’est pas possible de construire exactement un heptagone régulier.