Exercice 29

Question : Construis un polygone régulier à \(7\) côtés.

Réponse

On trace un cercle, puis on divise sa circonférence en 7 arcs égaux en mesurant, à partir du centre, un angle central ≈51,43° à chaque fois. En reliant les points ainsi obtenus, on obtient un héptagone approché.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour construire, de manière approchée, un polygone régulier à 7 côtés (héptagone) à l’aide d’une règle, d’un compas et d’un rapporteur :

1. Définir le cercle circonscrit
   • Dessine un cercle de centre O avec ton compas. Le cercle servira de base pour placer les sommets du polygone.

2. Calculer l’angle central
   • Dans un polygone régulier, les sommets se situent sur un cercle et les arcs entre deux points consécutifs sont égaux.
   • L’angle total au centre du cercle mesure 360°.
   • L’angle central associé à chaque côté est donc :
     360° ÷ 7 ≈ 51,43°.
   • Cet angle sera approximatif, mais suffira pour une construction accessible au collège.

3. Placer le premier sommet
   • Choisis un point A sur la circonférence du cercle. Ce sera le premier sommet de ton héptagone.

4. Diviser le cercle en 7 arcs égaux
   • Place ton rapporteur au centre O du cercle et aligne la graduation avec la droite passant par A.
   • Mesure depuis cette droite un angle d’environ 51,43° et marque l’intersection de la nouvelle demi-droite avec le cercle : ce point sera ton second sommet, que nous appellerons B.
   • Répète cette opération en prenant comme référence la dernière droite tracée (par exemple OB pour le prochain angle) afin de mesurer un nouvel angle de 51,43° à chaque fois.
   • Au bout de 7 mesures, tu rejoindras approximativement le point A, ce qui prouve que le cercle a bien été divisé en 7 arcs égaux.
   • Nomme les points successivement B, C, D, E, F et G.

5. Relier les sommets
   • Avec la règle, trace des segments droits entre deux points consécutifs dans l’ordre suivant :
     A – B, B – C, C – D, D – E, E – F, F – G et enfin G – A.
   • Tu obtiendras ainsi un polygone à 7 côtés.

6. Vérification et conclusion
   • Bien que la construction exacte d’un héptagone régulier ne puisse être réalisée par ces moyens à l’aide uniquement d’une règle, d’un compas et d’un rapporteur (à cause de la nature particulière des polygones à 7 côtés), cette méthode offre une solution approchée élégante et accessible.
   • Tu as ainsi réalisé un héptagone où les côtés et les angles sont presque tous égaux.

En résumé, nous avons construit un polygone régulier à 7 côtés en divisant un cercle en 7 arcs égaux, chacun correspondant à un angle central d’environ 51,43°, puis en reliant les points obtenus.
Cette démarche te permet de comprendre comment diviser un cercle et de t’entraîner aux constructions géométriques, même lorsque la construction exacte n’est pas réalisable uniquement avec une règle et un compas.