Exercice 28

Tracer un segment \([AB]\) de longueur 6 cm. Construire un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), tel que la hauteur issue de \(C\) mesure 2 cm. Combien de solutions existe-t-il ?

Réponse

Il existe quatre triangles différents qui satisfont les conditions de l’exercice.

Corrigé détaillé

On vous demande de construire un triangle ABC tel que :

• Le segment [AB] ait une longueur de 6 cm,
• Le triangle soit rectangle en C (donc l’angle en C est droit),
• L’altitude issue de C sur la droite (AB) mesure 2 cm.

Nous allons expliquer étape par étape comment trouver le nombre de solutions possibles.

────────────────────────────── 1. Positionner le segment [AB] et son cercle associé

– Tracez le segment [AB] de longueur 6 cm.
– Rappelons que dans un triangle rectangle, si l’angle droit se trouve en C, alors d’après le théorème de Thalès (ou le cercle circonscrit spécifique aux triangles rectangles), le point C doit appartenir au cercle de diamètre [AB].
– Le cercle de diamètre [AB] a pour centre le milieu de [AB] et pour rayon la moitié de la longueur de [AB]. Ici, le centre est le point O situé à 3 cm de A (et B) et le rayon est r = 3 cm.

────────────────────────────── 2. Définir la condition sur l’altitude issue de C

– L’altitude d’un triangle issue d’un sommet est la distance perpendiculaire de ce sommet à la droite opposée.
– Ici, la hauteur issue de C correspond à la distance entre le point C et la droite passant par A et B.
– Comme le segment [AB] est tracé, nous pouvons, sans perte de généralité, le placer horizontalement (imaginer A = (0, 0) et B = (6, 0)).
– La condition « hauteur égale à 2 cm » signifie que la distance du point C à la droite (AB) est de 2 cm.
– Autrement dit, C doit appartenir à l’un des deux droites parallèles à (AB) situées à 2 cm : l’une au-dessus et l’autre en dessous de (AB). Si (AB) est à y = 0, ces droites seront d’équations y = 2 et y = -2.

────────────────────────────── 3. Trouver les intersections du cercle avec les droites parallèles

– Le cercle de diamètre [AB] a pour équation (en positionnant le centre O en (3, 0)) :
  (x – 3)² + y² = 3² = 9.

– On cherche les points d’intersection de ce cercle avec la droite y = 2.

Substituons y = 2 dans l’équation du cercle :
  (x – 3)² + (2)² = 9
  (x – 3)² + 4 = 9
  (x – 3)² = 9 – 4 = 5
  x – 3 = ±√5
  x = 3 + √5 ou x = 3 – √5

On obtient ainsi deux points sur la droite y = 2 :   C₁ = (3 + √5, 2) et C₂ = (3 – √5, 2).

– De même, pour la droite y = -2, on procède de la même façon :

Substituons y = -2 dans le cercle :
  (x – 3)² + (-2)² = 9
  (x – 3)² + 4 = 9
  (x – 3)² = 5
  x = 3 + √5 ou x = 3 – √5

On obtient alors deux autres points sur la droite y = –2 :   C₃ = (3 + √5, -2) et C₄ = (3 – √5, -2).

────────────────────────────── 4. Déduire le nombre de solutions

Chaque point obtenu (C₁, C₂, C₃ et C₄) définit un triangle ABC tel que :  – Le triangle est rectangle en C (puisque C appartient au cercle de diamètre [AB]).
 – La distance de C à la droite (AB) est exactement 2 cm, ce qui correspond à la hauteur depuis C.

Au total, il existe 4 positions distinctes pour le point C.

────────────────────────────── Conclusion

Il y a donc 4 solutions possibles, c’est-à-dire 4 triangles différents qui satisfont les conditions de l’exercice.