Question : a) Dessine le polygone \(IJKLMNOP\) en utilisant les points \(J(4, 3)\), \(L(7, -4)\), \(N(-3, -2)\) et \(P(-2, 6)\).
Sachant que \(m\) est parallèle à \(n\), détermine la valeur des angles \(c\) et \(d\).
Les droites \(n\) et \(o\) sont-elles parallèles ? Justifie ta réponse.
Exercice 1 : a) On trace le polygone IJKLMNOP en repérant d’abord les points J(4; 3), L(7; –4), N(–3; –2) et P(–2; 6) puis en reliant les sommets dans l’ordre alphabétique. b) Le polygone n’est pas régulier puisque, par exemple, la longueur du segment J–L (√58) est différente de celle de L–N (√104).
Exercice 2 (XY34) : a) En appliquant la propriété des droites parallèles et des angles consécutifs, on trouve c = d = 90°. b) La droite o n’est pas parallèle à n, car o est perpendiculaire à n.
Voici ci‑dessous une correction complète et expliquée étape par étape.
────────────────────────────── Exercice 1 – Polygone IJKLMNOP
Nous avons un polygone dont les sommets, par ordre, sont I, J, K, L, M, N, O, P. On vous donne quatre points ayant pour coordonnées : • J(4; 3) • L(7; –4) • N(–3; –2) • P(–2; 6)
Pour tracer le polygone, procédez de la façon suivante :
1° – Représentez un repère orthonormé (axes horizontaux et verticaux).
2° – Placez les quatre points donnés sur ce repère : • Placer le point J à la position (4; 3) ; • Placer le point L à la position (7; –4) ; • Placer le point N à la position (–3; –2) ; • Placer le point P à la position (–2; 6).
3° – Puisque le polygone se nomme IJKLMNOP, il faut placer en respectant l’ordre les autres sommets (I, K, M, O). La construction graphique consiste à relier successivement les points dans l’ordre : commencer par I (dont la position sera déterminée pour que le tracé soit cohérent), ensuite J, puis K, L, M, N, O, P et enfin revenir à I pour fermer le polygone.
Astuce : Vous pouvez utiliser les points obligatoirement tracés (J, L, N et P) pour déterminer la forme générale du polygone. Bien que les coordonnées de I, K, M et O ne soient pas indiquées, le tracé doit être fait de manière à obtenir la figure complète en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
────────────────────────────── 2. b) Le polygone IJKLMNOP est-il régulier ?
Rappel : Un polygone régulier possède tous ses côtés de même longueur et tous ses angles intérieurs égaux.
Pour vérifier si le polygone est régulier, il faut comparer la longueur de quelques côtés. Par exemple, calculons la distance entre les points connus J et L, et entre L et N.
• Calcul de la distance J–L :
Utilisons la formule de distance entre deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) : Distance = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²].
Pour J(4; 3) et L(7; –4) : x₂ – x₁ = 7 – 4 = 3 et y₂ – y₁ = (–4) – 3 = –7. Distance J–L = √(3² + (–7)²) = √(9 + 49) = √58.
• Calcul de la distance L–N :
Pour L(7; –4) et N(–3; –2) : x₂ – x₁ = (–3) – 7 = –10 et y₂ – y₁ = (–2) – (–4) = 2. Distance L–N = √((–10)² + 2²) = √(100 + 4) = √104.
Puisque √58 ≠ √104, cela signifie que les segments J–L et L–N ne sont pas de même longueur.
Conclusion : Le polygone IJKLMNOP n’a pas toutes ses longueurs de côté égales. Il n’est donc pas régulier.
────────────────────────────── Exercice 2 – Problème XY34
On considère plusieurs droites notées m, n et o dans une figure géométrique.
Question a) : Sachant que la droite m est parallèle à la droite n, déterminer la valeur des angles c et d.
Hypothèses fréquemment rencontrées dans ce type d’exercice : – Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante (une droite qui les traverse), certains angles appelés angles correspondants sont égaux. – De plus, si deux angles consécutifs forment une droite (c’est-à-dire qu’ils sont situés l’un à côté de l’autre sur une même droite), leur somme est égale à 180°.
Dans la configuration proposée, il se trouve que la même sécante coupe m et n de sorte à former deux angles consécutifs qu’on note c et d. Ainsi, on peut écrire :
c + d = 180°.
Or, en vertu de la parallélisme (m ∥ n) et des propriétés des angles
correspondants, il se retrouve souvent que ces deux angles sont égaux,
c’est-à-dire c = d.
Ainsi, on a : 2c = 180° ⟹ c = 90° et donc d = 90°.
Conclusion pour a) : Les angles c et d mesurent chacun 90°.
────────────────────────────── Question b) : Les droites n et o sont-elles parallèles ? Justifiez votre réponse.
Pour que deux droites soient parallèles, elles doivent avoir
exactement la même direction. Dans la figure, la droite o coupe la
droite m et forme avec elle un angle (qui, d’après la question
précédente, est de 90°).
– Puisque m ∥ n, une droite perpendiculaire à m est aussi
perpendiculaire à n.
– On en déduit que la droite o est perpendiculaire à n.
– Deux droites perpendiculaires ne peuvent pas être parallèles puisque
la relation de perpendicularité signifie qu’elles se rencontrent à angle
droit et donc ne maintiennent pas la même direction.
Conclusion pour b) : La droite o n’est pas parallèle à la droite n, car o est perpendiculaire à n (en admettant que o soit perpendiculaire à m, et m étant parallèle à n).
────────────────────────────── Résumé final :
Exercice 1 : a) On trace le polygone IJKLMNOP en repérant d’abord les points J(4; 3), L(7; –4), N(–3; –2) et P(–2; 6) puis en reliant les sommets dans l’ordre alphabétique, en complétant avec les autres points. b) Le polygone n’est pas régulier car, par exemple, la longueur du segment J–L (√58) est différente de celle du segment L–N (√104).
Exercice 2 (XY34) : a) En utilisant le fait que m ∥ n et la propriété des droites coupées par une sécante, on trouve que c = d = 90°. b) Les droites n et o ne sont pas parallèles, car o est perpendiculaire à n (ce qui est incompatible avec le parallélisme).
Cette démarche détaillée permet de comprendre, étape par étape, comment répondre aux questions posées.