Exercice 25

Question :

1. Trace un cercle \(c\) de centre \(M\) et de rayon \(4{,}2\ \text{cm}\).

2. Place un point \(N\) tel que \(MN = 9\ \text{cm}\).

3. Construis les tangentes au cercle \(c\) passant par \(N\).

Réponse

Résumé de la correction :

1. Tracé du cercle \(c\) de centre \(M\) et de rayon \(4{,}2\ \text{cm}\).
2. Placement du point \(N\) à \(9\ \text{cm}\) de \(M\).
3. Construction des deux tangentes au cercle \(c\) passant par \(N\), en vérifiant la perpendicularité au rayon au point de tangence.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Cet exercice comporte trois étapes de construction géométrique. Nous allons les aborder une par une de manière détaillée.

1. Tracer un cercle \(c\) de centre \(M\) et de rayon \(4{,}2\ \text{cm}\).

Étapes à suivre :

1. Repérage du point \(M\) :
   • Choisis un emplacement sur ton papier et marque le point \(M\). C’est le centre du cercle.
2. Utilisation d’un compas :
   • Ouvre ton compas à l’ouverture correspondant au rayon du cercle, c’est-à-dire \(4{,}2\ \text{cm}\).
   • Assure-toi que l’ouverture est bien maintenue pour éviter toute erreur.
3. Traçage du cercle :
   • Place la pointe sèche du compas sur le point \(M\).
   • En maintenant fermement la pointe sèche, fais tourner le compas à 360° pour tracer le cercle \(c\).

Vérification :

• Mesure plusieurs points du cercle avec une règle pour t’assurer que la distance au centre \(M\) est toujours \(4{,}2\ \text{cm}\).

2. Placer un point \(N\) tel que \(MN = 9\ \text{cm}\).

Étapes à suivre :

1. Mesure de la distance \(MN\) :
   • Utilise une règle pour mesurer \(9\ \text{cm}\) à partir du point \(M\).
2. Marquage du point \(N\) :
   • À l’extrémité de la mesure de \(9\ \text{cm}\), marque le point \(N\).
   • Assure-toi que la mesure est précise pour garantir la justesse de la construction ultérieure.

Vérification :

• Mesure à nouveau la distance entre \(M\) et \(N\) pour confirmer qu’elle est bien de \(9\ \text{cm}\).

3. Construire les tangentes au cercle \(c\) passant par \(N\).

Concept :

Une tangente à un cercle est une droite qui touche le cercle en exactement un point. Pour construire les tangentes depuis un point extérieur \(N\) au cercle \(c\), on utilise la propriété suivante :

Propriété : La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon passant par le point de tangence.

Étapes à suivre :

1. Dessiner la droite \(MN\) :
   • Trace une ligne droite reliant les points \(M\) et \(N\).
2. Calculer la distance \(MN\) :
   • Nous avons \(MN = 9\ \text{cm}\).
   • Le rayon du cercle est \(r = 4{,}2\ \text{cm}\).
3. Calculer la longueur des segments de tangence :
   • Utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par \(MN\), le rayon \(MC\) (au point de tangence \(C\)), et la tangente \(NC\).
   • Relation : \(MN^2 = MC^2 + NC^2\)
   • Calcul : \(9^2 = 4{,}2^2 + NC^2\)
   • \(81 = 17{,}64 + NC^2\)
   • \(NC^2 = 81 - 17{,}64 = 63{,}36\)
   • \(NC = \sqrt{63{,}36} = 7{,}96\ \text{cm}\) (arrondi à deux décimales)
4. Construire les tangentes :
   • À partir du point \(N\), trace deux segments de droite de \(7{,}96\ \text{cm}\) chacun vers le cercle \(c\).
   • Les points où ces segments touchent le cercle sont les points de tangence \(T_1\) et \(T_2\).
5. Vérification de la perpendicularité :
   • Pour chaque tangente \(NT_1\) et \(NT_2\), vérifie que les angles \(MT_1N\) et \(MT_2N\) sont bien droits (\(90°\)).
   • Utilise une équerre pour confirmer la perpendicularité entre le rayon et la tangente au point de contact.

Résultat :

Vous obtenez ainsi deux tangentes distinctes au cercle \(c\) passant par le point \(N\), chacune touchant le cercle en un seul point de tangence.

Récapitulatif

En suivant ces étapes, vous avez construit avec précision un cercle \(c\) de centre \(M\) et de rayon \(4{,}2\ \text{cm}\), positionné un point \(N\) à \(9\ \text{cm}\) de \(M\), et tracé les deux tangentes au cercle passant par \(N\). Cette construction illustre l’application des propriétés géométriques des cercles et des tangentes.