Exercice 24

Construire un triangle \(ABC\) tel que

\[ AB = 9~\text{cm}, \quad BC = 8~\text{cm}, \quad AC = 10~\text{cm}. \]

Ensuite, construire un triangle \(ABD\), rectangle en \(D\), ayant pour base \(AB\) et la même aire que le triangle \(ABC\).

Réponse

Résumé de la correction :

1. Construire \(ABC\) :
   • Tracer \(AB = 9\) cm.
   • Dessiner des cercles de rayons \(AC = 10\) cm et \(BC = 8\) cm centrés en \(A\) et \(B\).
   • Identifier le point \(C\) d’intersection et relier les côtés.
2. Construire \(ABD\) rectangle en \(D\) :
   • Calculer l’aire de \(ABC\) ≈ 35 cm².
   • Déterminer la hauteur \(D\) à environ 7,78 cm perpendiculaire à \(AB\).
   • Tracer \(AD\) et \(BD\) pour former le triangle rectangle \(ABD\) avec la même aire.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice : Construction des triangles \(ABC\) et \(ABD\)

Nous allons procéder en deux étapes : 1. Construire le triangle \(ABC\) avec les longueurs données. 2. Construire le triangle \(ABD\) qui est rectangle en \(D\), ayant pour base \(AB\) et la même aire que le triangle \(ABC\).

1. Construction du triangle \(ABC\)

Données : - \(AB = 9~\text{cm}\) - \(BC = 8~\text{cm}\) - \(AC = 10~\text{cm}\)

Étapes de construction :

1. Tracer la base \(AB\) :
   • Avec une règle, dessinez un segment de droite \(AB\) de \(9~\text{cm}\).
2. Tracer un cercle de centre \(A\) et de rayon \(AC = 10~\text{cm}\) :
   • Utilisez un compas pour dessiner ce cercle.
3. Tracer un cercle de centre \(B\) et de rayon \(BC = 8~\text{cm}\) :
   • Avec le compas, tracez ce deuxième cercle.
4. Déterminer le point \(C\) :
   • Le point d’intersection des deux cercles précédents sera le sommet \(C\) du triangle.
   • Il y aura deux points d’intersection possibles (au-dessus et en dessous de \(AB\)). Choisissons-en un pour construire le triangle.
5. Tracer les côtés \(AC\) et \(BC\) :
   • Reliez le point \(A\) au point \(C\) pour obtenir le côté \(AC\) de \(10~\text{cm}\).
   • Reliez le point \(B\) au point \(C\) pour obtenir le côté \(BC\) de \(8~\text{cm}\).

Vérification : - Assurez-vous que les longueurs respectent bien les mesures données : \(AB = 9~\text{cm}\), \(BC = 8~\text{cm}\), \(AC = 10~\text{cm}\). - Le triangle \(ABC\) est maintenant construit.

2. Construction du triangle \(ABD\) rectangle en \(D\) avec base \(AB\) et même aire que \(ABC\)

Données supplémentaires : - Triangle \(ABD\) rectangle en \(D\) - Base \(AB = 9~\text{cm}\) - Aire de \(ABD\) = Aire de \(ABC\)

Étapes de construction :

1. Calculer l’aire du triangle \(ABC\) :

   • Utilisons la formule de l’aire d’un triangle avec les longueurs des côtés (formule de Héron).

   Calcul de l’aire avec la formule de Héron : \[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{9 + 8 + 10}{2} = \frac{27}{2} = 13,5~\text{cm} \] \[ \text{Aire} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{13,5 \times (13,5 - 9) \times (13,5 - 8) \times (13,5 - 10)} \] \[ \text{Aire} = \sqrt{13,5 \times 4,5 \times 5,5 \times 3,5} \approx \sqrt{13,5 \times 4,5 \times 5,5 \times 3,5} \approx 35, \text{cm}^2 \]

   (Note : Pour simplifier, on peut utiliser une approche plus simple si possible, mais ici nous suivons la méthode générale.)

2. Déterminer la hauteur nécessaire pour le triangle \(ABD\) :

   • L’aire d’un triangle rectangle est donnée par : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]
   • Nous connaissons la base \(AB = 9~\text{cm}\) et l’aire souhaitée \(\text{Aire} = 35~\text{cm}^2\).
   • On en déduit la hauteur \(h\) : \[ 35 = \frac{1}{2} \times 9 \times h \implies h = \frac{35 \times 2}{9} \approx 7,78~\text{cm} \]

3. Construire le triangle \(ABD\) rectangle en \(D\) :

   • Tracer la base \(AB\) si ce n’est pas déjà fait (identique au triangle \(ABC\)).
   • Placer le point \(D\) de manière à ce que la hauteur perpendiculaire depuis \(D\) sur \(AB\) soit de \(7,78~\text{cm}\).
     • À l’aide d’une équerre, placez \(D\) perpendiculairement à \(AB\) à une distance de \(7,78~\text{cm}\).

4. Relier les points pour former le triangle \(ABD\) :

   • Tracer le segment \(AD\) et le segment \(BD\).
   • Le triangle \(ABD\) est maintenant rectangle en \(D\), avec base \(AB = 9~\text{cm}\) et aire égale à celle de \(ABC\).

Vérification : - Calculons l’aire du triangle \(ABD\) pour confirmer : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times AD' = \frac{1}{2} \times 9 \times 7,78 \approx 35~\text{cm}^2 \] où \(AD'\) est la hauteur correspondant à la base \(AB\).

Le triangle \(ABD\) est ainsi construit conformément aux exigences de l’exercice.