Exercice 23

Tracez un segment \([AB]\) de 6 cm de longueur. Construisez un triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), tel que le côté \(AC\) mesure 2 cm.

Réponse

Tracer le segment AB de 6 cm, puis le cercle de diamètre AB. Avec un compas, tracer un cercle de centre A et de rayon 2 cm. Le point d’intersection (autre que A) de ce cercle avec le cercle de diamètre AB est C. Relier ensuite C à B pour obtenir le triangle ABC rectangle en C avec AC = 2 cm.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée à l’exercice :

But : Tracer un segment [AB] de 6 cm de longueur et construire un triangle ABC tel que l’angle en C soit droit et que la longueur du côté AC soit égale à 2 cm.

Nous allons procéder en plusieurs étapes :

────────────────────────────── Étape 1 : Tracer le segment [AB] de 6 cm

• À l’aide d’une règle, tracez un segment [AB] de 6 cm de longueur sur votre feuille.

────────────────────────────── Étape 2 : Utiliser la propriété du cercle de diamètre AB

Rappel : Dans tout triangle dont le côté [AB] est le diamètre d’un cercle, tout point C situé sur ce cercle (différent de A et B) définit un triangle ABC rectangle en C.

• Tracez le cercle de diamètre [AB]. Pour cela, trouvez le milieu du segment [AB] (nommons-le O) et utilisez la règle et le compas pour tracer le cercle de centre O et de rayon 3 cm.

────────────────────────────── Étape 3 : Définir la condition AC = 2 cm

Puisque l’un des côtés du triangle, AC, doit mesurer 2 cm, nous devons placer le point C sur le cercle de diamètre AB tout en vérifiant que la distance entre A et C est de 2 cm.

• Avec un compas, placez l’extrémité de la pointe sur A et ouvrez-le de sorte que l’écartement corresponde à 2 cm.

• Tracez un arc (cercle ou partie de cercle) de centre A et de rayon 2 cm. Cet arc représente l’ensemble des points situés à 2 cm de A.

────────────────────────────── Étape 4 : Déterminer la position du point C

• Le point C recherché est le point d’intersection (autre que A) de : - Le cercle de diamètre AB (qui garantit que l’angle en C est droit), et - L’arc de cercle de centre A et de rayon 2 cm (qui garantit que AC = 2 cm).

• Marquez ce point d’intersection sous le nom de C.

────────────────────────────── Étape 5 : Compléter le triangle

• Reliez le point C à B en traçant le segment [BC].

Ainsi, nous avons obtenu le triangle ABC qui vérifie : - AB = 6 cm (hypoténuse), - AC = 2 cm, - et d’après le théorème de Thalès (ou le théorème inscrit dans un cercle), l’angle en C est droit.

────────────────────────────── Conclusion

Le triangle ABC construit est rectangle en C avec AC = 2 cm et AB = 6 cm. Chaque étape a été réalisée avec soin pour respecter les conditions de l’exercice.