Exercice 22

Tracer un segment de 12 cm et construire 10 triangles rectangles dont l’hypoténuse est ce segment.

Réponse

Pour réaliser l’exercice :

Tracer le segment AB de 12 cm.
Déterminer le milieu M de AB.
Tracer une perpendiculaire à AB passant par M.
Marquer 10 points distincts sur cette perpendiculaire.
Relier chaque point à A et B pour former 10 triangles rectangles ayant AB comme hypoténuse.

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Pour réaliser cet exercice, nous allons suivre plusieurs étapes précises pour tracer un segment de 12 cm et construire 10 triangles rectangles dont l’hypoténuse est ce segment. Voici la démarche à suivre :

Matériel nécessaire

Règle graduée
Compas
Rapporteur
Crayon
Gomme

Étape 1 : Tracer le segment de 12 cm

Tracer le segment $\overline{AB}$ de 12 cm :
- Placez la règle sur la feuille.
- À partir d’un point de départ $A$, mesurez 12 cm et marquez le point d’arrivée $B$.
- Reliez les points $A$ et $B$ avec une ligne droite. Vous obtenez ainsi le segment $\overline{AB}$ de 12 cm.
\[ \overline{AB} = 12\, \text{cm} \]

Étape 2 : Construire des triangles rectangles avec $\overline{AB}$ comme hypoténuse

Pour construire un triangle rectangle dont $\overline{AB}$ est l’hypoténuse, nous devons ajouter un point $C$ tel que l’angle $\angle ACB$ soit de $90^\circ$. Voici comment procéder :

Méthode générale de construction

Trouver le point $C$ perpendiculaire à $\overline{AB}$ :
- Placez la compacité sur le milieu de $\overline{AB}$. Le milieu $M$ se trouve à $6\, \text{cm}$ de $A$ et de $B$.
- Tracez une ligne perpendiculaire à $\overline{AB}$ passant par $M$ à l’aide du rapporteur.
- Marquez différents points $C$ sur cette perpendiculaire. Chaque position de $C$ donnera un triangle rectangle différent $\triangle ABC$ avec $\overline{AB}$ comme hypoténuse.
Répéter la construction pour obtenir 10 triangles différents :
- Variez la position de $C$ sur la perpendiculaire. Vous pouvez choisir des points $C_1, C_2, \ldots, C_{10}$ à différentes distances de $M$ pour obtenir 10 triangles rectangles distincts.
\[ \triangle A C_1 B, \triangle A C_2 B, \ldots, \triangle A C_{10} B \]

Exemple concret pour deux triangles

Pour mieux comprendre, prenons deux positions différentes de $C$ :

Triangle 1 : $C_1$ à droite de $M$

Positionner $C_1$ :
- À droite de $M$, marquez un point $C_1$ à une distance de $4\, \text{cm}$ de $M$.
Tracer les segments $\overline{AC_1}$ et $\overline{BC_1}$ :
- Reliez $A$ à $C_1$ et $B$ à $C_1$.
Vérifier l’angle droit :
- L’angle $\angle AC_1B$ doit être de $90^\circ$. Utilisez le rapporteur pour confirmer la perpendicularité.
\[ \triangle AC_1B \quad \text{avec} \quad \angle AC_1B = 90^\circ \]

Triangle 2 : $C_2$ à gauche de $M$

Positionner $C_2$ :
- À gauche de $M$, marquez un point $C_2$ à une distance de $3\, \text{cm}$ de $M$.
Tracer les segments $\overline{AC_2}$ et $\overline{BC_2}$ :
- Reliez $A$ à $C_2$ et $B$ à $C_2$.
Vérifier l’angle droit :
- L’angle $\angle AC_2B$ doit être de $90^\circ$. Utilisez le rapporteur pour confirmer la perpendicularité.
\[ \triangle AC_2B \quad \text{avec} \quad \angle AC_2B = 90^\circ \]

Répéter pour obtenir 10 triangles

En suivant la même méthode, placez les points $C_3, C_4, \ldots, C_{10}$ à différentes distances de $M$ sur la perpendiculaire. Assurez-vous que chaque point est distinct pour garantir que chaque triangle $\triangle AC_iB$ est unique.

Schéma récapitulatif

Voici un schéma simplifié de la construction de deux triangles rectangles, pouvant être étendu à 10 triangles :

[ \[\begin{array}{c} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] % Tracer AB \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (12,0); \draw (A) -- (B) node[midway, below] {$\overline{AB} = 12\, \text{cm}$}; % Milieu M \coordinate (M) at (6,0); \fill (M) circle (2pt) node[below] {$M$}; % Perpendiculaire à AB passant par M \draw[dashed] (M) -- (M,6); \draw[dashed] (M) -- (M,-4); % Points C1 et C2 \coordinate (C1) at (6,4); \coordinate (C2) at (6,-3); \fill (C1) circle (2pt) node[right] {$C_1$}; \fill (C2) circle (2pt) node[right] {$C_2$}; % Tracer les triangles \draw (A) -- (C1) -- (B); \draw (A) -- (C2) -- (B); % Angles droits \draw (C1) +(-0.5,0) -- +(-0.5,0.5) -- +(0,0.5); \draw (C2) +(-0.5,0) -- +(-0.5,-0.5) -- +(0,-0.5); \end{tikzpicture} \end{array}\]

]

Dans ce schéma :

$\overline{AB}$ est le segment de 12 cm.
$M$ est le milieu de $\overline{AB}$.
Une ligne perpendiculaire à $\overline{AB}$ est tracée passant par $M$.
$C_1$ et $C_2$ sont deux points différents sur cette perpendiculaire, chacun formant un triangle rectangle avec $\overline{AB}$.

Conclusion

En répétant cette méthode et en plaçant les points $C_3, C_4, \ldots, C_{10}$ à différentes distances de $M$ sur la perpendiculaire, vous obtiendrez 10 triangles rectangles distincts dont $\overline{AB}$ est l’hypoténuse. Chaque triangle aura des angles et des côtés différents, mais tous partageront la même hypoténuse de 12 cm.