Exercice 21

Placer les points \(A(-1 ; 6)\) et \(B(8 ; 3)\) dans un même système d’axes.

Dessiner le rectangle \(A B C D\), sachant que le point \(C\) est sur l’axe des abscisses.
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du rectangle \(A B C D\).
Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(BD\).

Réponse

Résumé de l’exercice :

Construction du rectangle : Les points \(A(-1\,;\,6)\) et \(B(8\,;\,3)\) sont placés sur le plan. Le rectangle \(ABCD\) est formé avec \(C(8\,;\,0)\) et \(D(-1\,;\,0)\).
Calcul de l’aire : L’aire du rectangle est de 54 unités carrées.
Droite \(BD\) : La pente est \(\frac{1}{3}\), l’ordonnée à l’origine est \(\frac{1}{3}\) et l’équation de la droite est \(y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice

Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.

Données de l’exercice :

Points à placer dans un système de coordonnées :
- \(A(-1 ; 6)\)
- \(B(8 ; 3)\)

1) Dessiner le rectangle \(A B C D\), sachant que le point \(C\) est sur l’axe des abscisses

Étape 1 : Placer les points \(A\) et \(B\) dans le système de coordonnées

Axe des abscisses (x) et axe des ordonnées (y) sont tracés perpendiculairement.
Le point \(A(-1 ; 6)\) :
- Abscisse \(x = -1\) : se déplace d’une unité vers la gauche du point d’origine.
- Ordonnée \(y = 6\) : se déplace de six unités vers le haut.
Le point \(B(8 ; 3)\) :
- Abscisse \(x = 8\) : se déplace de huit unités vers la droite du point d’origine.
- Ordonnée \(y = 3\) : se déplace de trois unités vers le haut.

Étape 2 : Déterminer les coordonnées des points \(C\) et \(D\) pour former le rectangle \(A B C D\)

Puisque \(C\) est sur l’axe des abscisses, son ordonnée est \(y = 0\).
Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Ainsi :
- Le côté \(AB\) est parallèle à \(CD\) et \(AD\) est parallèle à \(BC\).
Pour trouver \(C\) :
- Il doit avoir la même abscisse que \(B\), c’est-à-dire \(x = 8\).
- Son ordonnée est \(y = 0\), donc \(C(8 ; 0)\).
Pour trouver \(D\) :
- Il doit avoir la même abscisse que \(A\), c’est-à-dire \(x = -1\).
- Son ordonnée est \(y = 0\), donc \(D(-1 ; 0)\).

Étape 3 : Tracer le rectangle

Relier les points dans l’ordre \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et revenir à \(A\) pour fermer le rectangle.

Schéma du rectangle :

\[ \begin{array}{c|c|c|c} & y & & \\ & 6 & A(-1;6) & \bullet \\ & 3 & & \\ & 0 & D(-1;0) & \bullet \quad C(8;0) \quad \bullet \\ & & & \\ & \,\,-1\,\,\,\,\,\,\,8\,\,\, & x & \\ \end{array} \]

(Le schéma est simplifié pour illustrer la position des points.)

2) Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du rectangle \(A B C D\)

Étape 1 : Calculer la longueur et la largeur du rectangle

Longueur (\(L\)) : distance entre les points \(A\) et \(B\) ou \(C\) et \(D\).
Largeur (\(l\)) : distance entre les points \(A\) et \(D\) ou \(B\) et \(C\).

Calcul de la longueur (\(L\)) :

Les deux points \(A(-1 ; 6)\) et \(B(8 ; 3)\) n’ont pas la même abscisse ni la même ordonnée, mais dans le rectangle, nous utilisons la différence des abscisses ou des ordonnées pour déterminer les côtés alignés avec les axes.

Cependant, dans ce cas précis, il est plus simple de considérer la différence d’abscisses entre \(A\) et \(B\) comme la longueur horizontale, et la différence d’ordonnées comme la hauteur verticale.

Différence des abscisses : \(8 - (-1) = 9\) unités.
Différence des ordonnées : \(6 - 3 = 3\) unités.

Longueur (\(L\)) = 9 unités

Largeur (\(l\)) = 6 (ordonnée de \(A\)) - 0 (ordonnée de \(D\)) = 6 unités

Étape 2 : Calculer l’aire du rectangle

La formule de l’aire \(A\) d’un rectangle est : \[ A = L \times l \]

En remplaçant : \[ A = 9 \times 6 = 54 \, \text{unités carrées} \]

Conclusion : L’aire du rectangle \(A B C D\) est de 54 unités carrées.

3) Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de la droite \(BD\)

Étape 1 : Déterminer les coordonnées des points \(B\) et \(D\)

\(B(8 ; 3)\)
\(D(-1 ; 0)\)

Étape 2 : Calculer la pente (\(m\)) de la droite \(BD\)

La pente d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est donnée par : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Appliquons les coordonnées de \(B\) et \(D\) : \[ m = \frac{0 - 3}{-1 - 8} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \]

Pente (\(m\)) = \(\frac{1}{3}\)

Étape 3 : Déterminer l’ordonnée à l’origine (\(b\))

L’équation d’une droite est de la forme : \[ y = m x + b \]

Pour trouver \(b\), utilisons les coordonnées de l’un des points, par exemple, le point \(B(8 ; 3)\) : \[ 3 = \left( \frac{1}{3} \right) \times 8 + b \\ 3 = \frac{8}{3} + b \\ b = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1}{3} \]

Ordonnée à l’origine (\(b\)) = \(\frac{1}{3}\)

Étape 4 : Écrire l’équation de la droite \(BD\)

En remplaçant \(m\) et \(b\) dans l’équation générale : \[ y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \]

Conclusion : - Pente : \(\frac{1}{3}\) - Ordonnée à l’origine : \(\frac{1}{3}\) - Équation de la droite \(BD\) : \[ y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \]

Résumé : 1. Les points \(A(-1 ; 6)\) et \(B(8 ; 3)\) sont placés dans le système de coordonnées. Le rectangle \(A B C D\) est dessiné avec \(C(8 ; 0)\) et \(D(-1 ; 0)\). 2. L’aire du rectangle est calculée et vaut 54 unités carrées. 3. La droite \(BD\) a une pente de \(\frac{1}{3}\), une ordonnée à l’origine de \(\frac{1}{3}\) et son équation est \(y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}\).