Nouvelle Exercice de Mathématiques
Question : À chaque sommet d’un cube de \(5\,\text{cm}\) d’arête, on ajoute une pyramide à base carrée dont les sommets de la base sont les milieux des quatre arêtes adjacentes au sommet du cube.
Représente le solide ainsi obtenu en perspective.
Pour représenter le solide, dessinez d’abord un cube de 5 cm d’arête. Identifiez les milieux des arêtes adjacentes à chaque sommet et construisez une pyramide à base carrée sur chacun de ces sommets. Finalisez en dessinant le tout en perspective, en assurant la symétrie et les proportions correctes.
Pour représenter le solide obtenu, nous devons suivre une série d’étapes géométriques en partant du cube initial et en y ajoutant les pyramides spécifiées. Voici une explication détaillée pour vous aider à comprendre et à réaliser cette construction en perspective.
Étape 1.1 : Dessiner le Cube
Commencez par dessiner un cube dont chaque arête mesure \(5\,\text{cm}\). Un cube a 8 sommets et 12 arêtes. Assurez-vous que les angles entre les arêtes sont droits pour représenter correctement les arêtes du cube.
Étape 1.2 : Identifier les Sommets
Numérotons les sommets du cube de manière à faciliter la référence ultérieure. Par exemple, les sommets en bas peuvent être \(A, B, C, D\) et ceux en haut \(E, F, G, H\).
Pour chaque sommet du cube, identifiez les arêtes qui y sont adjacentes (c’est-à-dire les arêtes qui partent de ce sommet). Les milieux de ces arêtes seront les points de la base des pyramides.
Exemple :
Prenons le sommet \(A\). Les arêtes adjacentes sont \(AB\), \(AD\) et \(AE\). Les milieux de ces arêtes seront : \[ M_{AB} = \left(\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2}, \frac{A_z + B_z}{2}\right), \quad M_{AD} = \left(\frac{A_x + D_x}{2}, \frac{A_y + D_y}{2}, \frac{A_z + D_z}{2}\right), \quad M_{AE} = \left(\frac{A_x + E_x}{2}, \frac{A_y + E_y}{2}, \frac{A_z + E_z}{2}\right) \] Répétez cette opération pour chacun des 8 sommets du cube.
Étape 3.1 : Définir la Base de la Pyramide
Pour chaque sommet du cube, les quatre milieux des arêtes adjacentes forment les sommets de la base carrée de la pyramide. Connectez ces milieux pour dessiner le carré de base.
Étape 3.2 : Définir le Sommet de la Pyramide
Le sommet de la pyramide est le sommet du cube auquel les arêtes sont adjacentes. Par exemple, pour le sommet \(A\), le sommet de la pyramide sera \(A\) lui-même.
Étape 3.3 : Relier le Sommet aux Sommets de la Base
Tracez des arêtes reliant le sommet de la pyramide aux quatre sommets de la base carrée. Cela forme les faces triangulaires de la pyramide.
Répétez les étapes 2 et 3 pour les 8 sommets du cube. Chaque sommet aura sa propre pyramide avec une base carrée définie par les milieux des arêtes adjacentes.
Étape 5.1 : Choisir un Point de Vue
Pour représenter le solide en perspective, choisissez un angle de vue qui permet de bien observer à la fois le cube central et les pyramides ajoutées.
Étape 5.2 : Dessiner les Arêtes en Perspective
Utilisez les principes de la perspective pour dessiner les arêtes du cube et des pyramides. Les lignes parallèles dans la réalité convergeront vers un ou plusieurs points de fuite sur l’horizon.
Étape 5.3 : Ajouter les Détails des Pyramides
Assurez-vous que les pyramides ajoutées sont bien proportionnées par rapport au cube. Les bases carrées des pyramides doivent être correctement alignées avec les milieux des arêtes du cube et les sommets des pyramides doivent s’étendre à partir des sommets du cube.
Après avoir dessiné le solide en perspective, vérifiez que toutes les pyramides sont uniformément ajoutées à chaque sommet et que les proportions sont respectées par rapport à l’arête de \(5\,\text{cm}\) du cube initial.
Étape 7.1 : Renforcer les Lignes Principales
Repassez sur les arêtes principales du cube et des pyramides avec un stylo plus épais pour les mettre en valeur.
Étape 7.2 : Ajouter des Ombres et des Textures (Optionnel)
Pour donner du relief à votre dessin, vous pouvez ajouter des ombres ou des textures légères sur les faces visibles des pyramides et du cube.
En suivant ces étapes, vous serez en mesure de représenter en perspective le solide obtenu en ajoutant une pyramide à base carrée à chaque sommet d’un cube de \(5\,\text{cm}\) d’arête. Cette construction géométrique permet d’explorer des concepts tels que la symétrie, la proportion et la perspective en géométrie.