Exercice 19

Soit un point \(A\) et une droite \(d\) ne passant pas par \(A\). Construisez le cercle \(C\) de centre \(A\) et tangent à la droite \(d\).

Réponse

Pour construire le cercle \(C\) de centre \(A\) tangent à la droite \(d\) :

1. Tracer la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\).
2. Identifier le point d’intersection \(P\) de cette perpendiculaire avec \(d\).
3. Mesurer la distance \(AP\) et utiliser cette longueur comme rayon \(r\).
4. Dessiner le cercle \(C(A, r)\).

Ainsi, le cercle \(C\) est tangent à la droite \(d\).

Corrigé détaillé

Pour construire le cercle \(C\) de centre \(A\) et tangent à la droite \(d\), suivez les étapes détaillées ci-dessous.

Étape 1 : Identifier les éléments donnés

• Point \(A\) : Il s’agit du centre du cercle que nous devons construire.
• Droite \(d\) : Une droite qui ne passe pas par le point \(A\).

Étape 2 : Construire la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\)

Pour que le cercle \(C\) soit tangent à la droite \(d\), la distance entre le centre \(A\) et la droite \(d\) doit correspondre au rayon du cercle \(C\). Cette distance se mesure le long de la perpendiculaire à \(d\) passant par \(A\).

1. Tracer la perpendiculaire :
   • À l’aide d’une règle et d’un compas, tracez une droite perpendiculaire à \(d\) qui passe par le point \(A\).
   • Appelons cette perpendiculaire \(p\).
2. Déterminer le pied de la perpendiculaire :
   • Le point d’intersection entre la perpendiculaire \(p\) et la droite \(d\) est appelé le pied de la perpendiculaire, noté \(P\).
   \[ P = p \cap d \]

Étape 3 : Déterminer la distance \(AP\)

La distance entre \(A\) et \(P\) sera le rayon \(r\) du cercle \(C\).

\[ r = AP \]

Mesurez cette distance à l’aide d’un compas.

Étape 4 : Tracer le cercle \(C\)

Avec le compas réglé sur la longueur \(r\), tracez le cercle \(C\) ayant pour centre le point \(A\).

\[ C(A, r) \]

Le cercle ainsi tracé sera tangent à la droite \(d\) en raison de la construction de la perpendiculaire. En effet, une tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon passant par ce point de tangence. Dans ce cas, la droite \(d\) est la tangente, et la perpendiculaire \(p\) correspond au rayon \(AP\).

Conclusion

Grâce à cette construction, le cercle \(C\) de centre \(A\) et de rayon \(AP\) est tangent à la droite \(d\). Cette méthode garantit que la distance entre le centre du cercle et la droite est exactement égale au rayon, assurant ainsi la tangence souhaitée.