Exercice 17

Question :
Construis l’ensemble des points situés à la même distance de deux points fixes \(A\) et \(B\).

Réponse

L’ensemble des points équidistants de A et B est la médiatrice du segment [AB].

Corrigé détaillé

Pour déterminer l’ensemble des points équidistants de deux points fixes A et B, on va montrer que cet ensemble est constitué de tous les points situés sur la médiatrice du segment [AB]. Voici la démarche détaillée :

1. Étape 1 : Tracer le segment [AB]
   Dessine tout d’abord le segment reliant A et B.

2. Étape 2 : Construire le milieu du segment [AB]
   Trouve le point M qui est le milieu de [AB]. Ce point M a pour caractéristique d’être à égale distance de A et B.

3. Étape 3 : Dessiner la droite perpendiculaire passant par M
   À partir du point M, trace une droite perpendiculaire au segment [AB]. Cette droite est appelée la médiatrice de [AB].

4. Étape 4 : Démontrer que chaque point de cette droite est équidistant de A et B

   • Si un point P est situé sur la médiatrice, alors par construction, le segment [PM] est perpendiculaire à [AB]. Par le théorème de la bissection dans un triangle, le triangle APB devient isocèle avec P éloigné de A et B de la même distance.
     
   • Réciproquement, si un point P vérifie PA = PB, alors P doit se trouver sur la droite perpendiculaire passant par le milieu M de [AB]. En effet, dans le triangle APB, si PA = PB, alors la hauteur passant par P coïncide avec la médiatrice, montrant ainsi que P appartient à cette droite.

5. Conclusion
   L’ensemble cherché, c’est-à-dire l’ensemble des points équidistants de A et B, est exactement la médiatrice du segment [AB]. Pour la construire, il suffit de suivre les étapes précédentes : tracer [AB], trouver son milieu M, et passer par M une droite perpendiculaire à [AB].

Ainsi, la réponse à l’exercice est :
L’ensemble des points équidistants de deux points fixes A et B est constitué par la médiatrice du segment [AB].