Exercice 16

Question : Tracer un triangle isocèle \(PQR\) tel que \(PQ = PR\).

Déterminer l’emplacement du point \(T\) tel que l’angle \(\widehat{QTR}\) soit égal à la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\).

Réponse

En traçant le triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ = PR\) et en construisant la bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\), on trouve le point \(T\) sur \(QR\) tel que \(\widehat{QTR\) est la moitié de \(\widehat{QPR}\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour résoudre ce problème, suivez les étapes ci-dessous afin de tracer le triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ = PR\) et de déterminer l’emplacement du point \(T\) tel que l’angle \(\widehat{QTR}\) soit égal à la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\).

Étape 1 : Tracer le triangle isocèle \(PQR\)
  1. Tracer la base \(QR\) :
    • Commencez par tracer une ligne horizontale représentant la base \(QR\) du triangle. Choisissez une longueur appropriée selon vos préférences.
  2. Déterminer le point \(P\) :
    • Trouvez le milieu de \(QR\) et nommez-le \(M\).
    • À partir de \(M\), tracez une perpendiculaire à \(QR\). La hauteur du triangle peut être choisie arbitrairement en fonction de la taille souhaitée pour le triangle.
    • Marquez le point d’intersection de cette perpendiculaire avec la perpendiculaire comme étant le sommet \(P\).
  3. Tracer les côtés \(PQ\) et \(PR\) :
    • Connectez le sommet \(P\) aux points \(Q\) et \(R\) pour former les côtés \(PQ\) et \(PR\) respectivement. Ainsi, \(PQ = PR\), ce qui confirme que le triangle est isocèle.
Étape 2 : Calculer l’angle \(\widehat{QPR}\)
  1. Propriétés du triangle isocèle :
    • Dans un triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ = PR\), les angles à la base sont égaux. Donc, \(\angle PQR = \angle PRQ\).
  2. Calcul de l’angle au sommet :
    • La somme des angles dans un triangle est de \(180^\circ\).
    • Soit \(\alpha = \angle PQR = \angle PRQ\) et \(\beta = \angle QPR\).
    • Ainsi, \(2\alpha + \beta = 180^\circ\).
    • Par conséquent, \(\beta = 180^\circ - 2\alpha\).
Étape 3 : Déterminer la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\)
  1. Calcul de la moitié de \(\widehat{QPR}\) :
    • La moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\) est \(\frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} = 90^\circ - \alpha\).
Étape 4 : Tracer la bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\)
  1. Bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\) :
    • La bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\) est la droite qui divise cet angle en deux angles égaux de \(\frac{\beta}{2}\).
  2. Construction de la bissectrice :
    • À l’aide d’un rapporteur ou d’une équerre, mesurez un angle de \(\frac{\beta}{2}\) à partir du côté \(PR\) vers l’intérieur du triangle.
    • Tracez la droite correspondante. Cette droite est la bissectrice apportant l’angle \(\widehat{QTR}\) égal à \(\frac{\beta}{2}\).
Étape 5 : Déterminer l’emplacement du point \(T\)
  1. Intersection avec le côté \(QR\) :
    • La bissectrice tracée dans l’étape précédente intersecte le côté \(QR\) en un point que nous nommerons \(T\).
  2. Propriété de \(T\) :
    • Par construction, l’angle \(\widehat{QTR}\) est égal à la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\), c’est-à-dire \(\frac{\beta}{2}\).
Résumé

En suivant ces étapes, vous avez tracé le triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ = PR\) et déterminé l’emplacement du point \(T\) sur le côté \(QR\) tel que l’angle \(\widehat{QTR}\) est exactement la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\).

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