Exercice 16
Question : Tracer un triangle isocèle \(PQR\) tel que \(PQ = PR\).
Déterminer l’emplacement du point \(T\) tel que l’angle \(\widehat{QTR}\) soit égal à la moitié de
l’angle \(\widehat{QPR}\).
Réponse
En traçant le triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ =
PR\) et en construisant la bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\), on trouve le point \(T\) sur \(QR\) tel que \(\widehat{QTR\) est la moitié de \(\widehat{QPR}\).
Corrigé détaillé
Correction détaillée :
Pour résoudre ce problème, suivez les étapes ci-dessous afin de
tracer le triangle isocèle \(PQR\) avec
\(PQ = PR\) et de déterminer
l’emplacement du point \(T\) tel que
l’angle \(\widehat{QTR}\) soit égal à
la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\).
Étape 1 : Tracer le
triangle isocèle \(PQR\)
- Tracer la base \(QR\)
:
- Commencez par tracer une ligne horizontale représentant la base
\(QR\) du triangle. Choisissez une
longueur appropriée selon vos préférences.
- Déterminer le point \(P\)
:
- Trouvez le milieu de \(QR\) et
nommez-le \(M\).
- À partir de \(M\), tracez une
perpendiculaire à \(QR\). La hauteur du
triangle peut être choisie arbitrairement en fonction de la taille
souhaitée pour le triangle.
- Marquez le point d’intersection de cette perpendiculaire avec la
perpendiculaire comme étant le sommet \(P\).
- Tracer les côtés \(PQ\) et
\(PR\) :
- Connectez le sommet \(P\) aux
points \(Q\) et \(R\) pour former les côtés \(PQ\) et \(PR\) respectivement. Ainsi, \(PQ = PR\), ce qui confirme que le triangle
est isocèle.
Étape 2 : Calculer l’angle
\(\widehat{QPR}\)
- Propriétés du triangle isocèle :
- Dans un triangle isocèle \(PQR\)
avec \(PQ = PR\), les angles à la base
sont égaux. Donc, \(\angle PQR = \angle
PRQ\).
- Calcul de l’angle au sommet :
- La somme des angles dans un triangle est de \(180^\circ\).
- Soit \(\alpha = \angle PQR = \angle
PRQ\) et \(\beta = \angle
QPR\).
- Ainsi, \(2\alpha + \beta =
180^\circ\).
- Par conséquent, \(\beta = 180^\circ -
2\alpha\).
Étape 3 :
Déterminer la moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\)
- Calcul de la moitié de \(\widehat{QPR}\) :
- La moitié de l’angle \(\widehat{QPR}\) est \(\frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} =
90^\circ - \alpha\).
Étape 4 :
Tracer la bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\)
- Bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\) :
- La bissectrice de l’angle \(\widehat{QPR}\) est la droite qui divise
cet angle en deux angles égaux de \(\frac{\beta}{2}\).
- Construction de la bissectrice :
- À l’aide d’un rapporteur ou d’une équerre, mesurez un angle de \(\frac{\beta}{2}\) à partir du côté \(PR\) vers l’intérieur du triangle.
- Tracez la droite correspondante. Cette droite est la bissectrice
apportant l’angle \(\widehat{QTR}\)
égal à \(\frac{\beta}{2}\).
Étape 5 : Déterminer
l’emplacement du point \(T\)
- Intersection avec le côté \(QR\) :
- La bissectrice tracée dans l’étape précédente intersecte le côté
\(QR\) en un point que nous nommerons
\(T\).
- Propriété de \(T\)
:
- Par construction, l’angle \(\widehat{QTR}\) est égal à la moitié de
l’angle \(\widehat{QPR}\), c’est-à-dire
\(\frac{\beta}{2}\).
Résumé
En suivant ces étapes, vous avez tracé le triangle isocèle \(PQR\) avec \(PQ =
PR\) et déterminé l’emplacement du point \(T\) sur le côté \(QR\) tel que l’angle \(\widehat{QTR}\) est exactement la moitié de
l’angle \(\widehat{QPR}\).