Exercice 14

Question : La droite \(CD\) est parallèle à la droite \(e\).

Construisez un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\).

Réponse

Pour construire le cercle tangent à la droite \(e\) passant par les points \(C\) et \(D\) :

1. Tracer le segment \(CD\) et déterminer son milieu \(M\).
2. Tracer la médiatrice \(m\) de \(CD\).
3. Tracer une perpendiculaire à \(e\) passant par \(M\).
4. Placer le centre \(O\) sur \(m\) à une distance égale au rayon du cercle.
5. Tracer le cercle de centre \(O\) et de rayon \(OC\).

Ce cercle sera tangent à la droite \(e\) et passera par les points \(C\) et \(D\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée : Construction d’un cercle tangent à la droite \(e\) passant par les points \(C\) et \(D\)

Pour construire un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\), suivons les étapes suivantes :

Étape 1 : Tracer le segment \(CD\)

Commencez par tracer le segment qui relie les points \(C\) et \(D\).

Étape 2 : Déterminer la médiatrice du segment \(CD\)

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

1. Trouver le milieu \(M\) de \(CD\) :
   • Mesurez la longueur de \(CD\) et divisez-la par deux pour localiser le point médian \(M\).
2. Tracer la médiatrice :
   • À partir de \(M\), tracez une droite perpendiculaire au segment \(CD\). Cette droite est la médiatrice de \(CD\) et représentée par \(m\).

\[ m : \text{Médiatrice de } CD \]

Étape 3 : Tracer une droite parallèle à \(e\) passant par \(M\)

Puisque la droite \(CD\) est parallèle à la droite \(e\), la médiatrice \(m\) sera perpendiculaire à \(e\).

1. Tracer une perpendiculaire à \(e\) en \(M\) :
   • Utilisez une équerre pour tracer une droite perpendiculaire à \(e\) passant par le point \(M\).

Étape 4 : Déterminer le centre \(O\) du cercle

Le centre \(O\) du cercle doit satisfaire deux conditions : 1. Il doit appartenir à la médiatrice \(m\) de \(CD\). 2. La distance entre \(O\) et la droite \(e\) doit être égale au rayon du cercle.

Pour trouver \(O\) :

1. Trouver la distance entre \(M\) et \(e\) :
   • Utilisez une règle perpendiculaire pour mesurer cette distance, notée \(d\).
2. Placer le centre \(O\) :
   • À partir de \(M\), mesurez une distance \(d\) perpendiculaire à \(e\) sur la médiatrice \(m\) dans la direction souhaitée (au-dessus ou au-dessous de \(e\)).
   • Le point obtenu est le centre \(O\) du cercle.

Étape 5 : Tracer le cercle

Avec le centre \(O\) déterminé :

1. Déterminer le rayon \(r\) :
   • Le rayon \(r\) est égal à la distance entre \(O\) et un des points \(C\) ou \(D\) (puisque le cercle doit passer par ces deux points).
2. Tracer le cercle :
   • À l’aide d’un compas, placez la pointe sèche en \(O\) et tracez le cercle de rayon \(r\).

Vérification de la tangence

Pour s’assurer que le cercle est bien tangent à la droite \(e\) :

1. Vérifier la distance :
   • La distance entre le centre \(O\) et la droite \(e\) doit être exactement égale au rayon \(r\).

Si toutes les étapes ont été suivies correctement, le cercle construit est tangent à la droite \(e\) et passe par les points \(C\) et \(D\).

Schéma récapitulatif

math \[\begin{align*} &\text{1. Tracer le segment } CD. \\ &\text{2. Trouver le milieu } M \text{ de } CD. \\ &\text{3. Tracer la médiatrice } m \text{ de } CD. \\ &\text{4. Déterminer la distance } d \text{ entre } M \text{ et } e. \\ &\text{5. Placer le centre } O \text{ à une distance } d \text{ de } e \text{ sur } m. \\ &\text{6. Tracer le cercle de centre } O \text{ et de rayon } r = OC = OD. \end{align*}\]

Ce schéma illustre les étapes de construction du cercle tangent à la droite \(e\) passant par les points \(C\) et \(D\).