Exercice 13

Question : La droite \(CD\) est parallèle à la droite \(e\).
Construis un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\).

Réponse

Nous avons construit un cercle tangent à la droite \(e\) passant par \(C\) et \(D\) en plaçant son centre sur la médiatrice de \(CD\) à la distance appropriée de \(e\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Énoncé :

La droite \(CD\) est parallèle à la droite \(e\).
Construis un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\).

Solution :

Pour construire un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\), suivons les étapes ci-dessous :

1. Comprendre les éléments donnés :

   • La droite \(CD\) est parallèle à la droite \(e\), ce qui signifie qu’elles ne se rencontrent jamais et ont la même direction.
   • Nous devons construire un cercle qui touche la droite \(e\) en un seul point (tangente) et qui passe par les points \(C\) et \(D\).

2. Identifier le centre du cercle :

   • Le centre \(O\) du cercle doit être situé à une distance égale de la droite \(e\) (car le cercle est tangent à \(e\)).
   • De plus, le centre \(O\) doit être équidistant des points \(C\) et \(D\) (puisque le cercle passe par ces deux points).

3. Tracer la médiatrice du segment \(CD\) :

   • Trouvons le milieu \(M\) du segment \(CD\).
   • Traçons la médiatrice de \(CD\), c’est-à-dire une droite perpendiculaire à \(CD\) passant par \(M\).

   \[ \text{Médiatrice de } CD \quad \Rightarrow \quad \perp CD \text{ passant par } M \]

4. Déterminer la position du centre \(O\) :

   • Puisque le cercle est tangent à la droite \(e\) et \(CD\) est parallèle à \(e\), le centre \(O\) doit se trouver sur la médiatrice de \(CD\) à une distance égale au rayon \(r\) du cercle par rapport à la droite \(e\).
   • Pour cela, tracons une perpendiculaire depuis la médiatrice de \(CD\) jusqu’à la droite \(e\). Le point d’intersection sera le centre \(O\).

5. Calculer le rayon \(r\) du cercle :

   • Le rayon \(r\) est la distance entre le centre \(O\) et le point de tangence sur la droite \(e\).
   • Mesurons cette distance à l’aide d’un compas.

6. Tracer le cercle :

   • Avec le centre \(O\) déterminé et le rayon \(r\), utilisons un compas pour tracer le cercle.
   • Assurons-nous que le cercle passe bien par les points \(C\) et \(D\) et qu’il est tangent à la droite \(e\).

7. Vérification :

   • Vérifions que le cercle touche la droite \(e\) en un seul point.
   • Assurons-nous que les points \(C\) et \(D\) sont bien sur le cercle.

Conclusion :

En suivant ces étapes, nous avons construit un cercle tangent à la droite \(e\) et passant par les points \(C\) et \(D\). Cette construction repose sur la géométrie des médiatrices et les propriétés des cercles tangents.