Question : Trace un segment \(AB\) de \(5{,}6\,\text{cm}\).
Construis la médiatrice \(m\) de \(AB\).
Trace une demi-droite \(Ax\) formant un
angle de \(50^\circ\) avec \(AB\).
Construis la perpendiculaire \(p\) à la
demi-droite \(Ax\) passant par \(A\).
La perpendiculaire \(p\) coupe \(m\) en \(O\).
Trace le cercle de centre \(O\) et de
rayon \(OA\), qui coupe \(m\) en \(C\) et \(D\).
Sur l’arc de cercle \(\widehat{ACD}\),
place deux points \(M\) et \(N\).
Quelles sont les mesures des angles \(\widehat{AMN}\) et \(\widehat{ANM}\) ?
Réponse : Dans le triangle inscrit AMN, on a ∠AMN = 65° et ∠ANM = 65°.
Nous allons montrer que, dans la configuration ci‐dessus, quel que soit le choix des points M et N sur l’arc (ACD), le triangle inscrit AMN vérifie :
∠AMN = 65° et ∠ANM = 65°.
Nous donnons ci‐après une correction détaillée qui explique pourquoi ces mesures ne dépendent pas du choix de M et N sur cet arc.
────────────────────────────── 1 – Mise en place et repérage des objets géométriques
• On trace le segment AB de longueur 5,6 cm. Sa médiatrice m est la droite perpendiculaire à AB passant par son milieu.
• À partir du point A, on trace la demi‐droite Ax formant un angle de 50° avec AB.
• On construit la perpendiculaire p à la demi‐droite Ax passant par A. Par construction, la droite p est perpendiculaire à Ax.
• Le point O est défini comme l’intersection de p et de m.
• On trace ensuite le cercle de centre O et de rayon OA (égal à OB puisque O ∈ m) ; ce cercle coupe m en deux points que l’on note C et D.
• Sur l’arc du cercle « A C D » (c’est‑à‑dire l’arc qui ne contient pas le point B) on place deux points M et N.
────────────────────────────── 2 – La tangente en A et le théorème de la tangente‐chordes
Un point important est le suivant :
• Dans un cercle, la tangente en un point est perpendiculaire au
rayon passant par ce point.
Ici, le rayon [OA] relie O et A. Or la droite p (qui contient A et O)
est construite perpendiculairement à Ax. Par conséquent, la tangente au
cercle en A est exactement la droite Ax.
Le théorème de la tangente‐chordes (aussi appelé « angle entre tangente et sécante ») affirme : « L’angle formé entre la tangente en un point A et une sécante passant par A (c’est‑à‑dire un chord) est égal à l’angle inscrit dans la portion opposée du cercle. »
────────────────────────────── 3 – Application à la mesure de l’angle en A dans le triangle inscrit AMN
Dans le triangle inscrit AMN, le point A est commun et la tangente en A est Ax. On peut appliquer le théorème de la tangente‐chordes aux deux côtés issus de A, par exemple pour le chord [AM] et pour le chord [AN].
• Considérons d’abord le chord [AM]. La mesure de l’angle formé entre la tangente Ax et [AM] est donc égale à l’angle inscrit dans le cercle qui intercède, c’est‑à‑dire l’angle opposé à [AM] dans le triangle AMN, que l’on note ∠ANM.
De même, pour le chord [AN] la relation donne : angle entre Ax et [AN] = ∠AMN.
Mais comment déterminer ces deux angles ? La construction a été faite de sorte qu’en traçant la demi‐droite Ax on fixe un angle de 50° entre Ax (la tangente en A) et la droite AB. Par ailleurs, il apparaît (par une étude de la position de O sur la médiatrice de AB) que le chord [AB] du cercle (puisque A et B sont sur le cercle) intercepte un angle au centre mesurant 100°. Dans le triangle isocèle → AOB, on trouve alors ∠OAB = 40° (puisque 2×∠OAB + 100° = 180°).
Or, dans le cercle, le chord [AB] et la tangente en A (qui est Ax) font donc un angle de 50° (puisque la tangente est perpendiculaire au rayon OA et l’angle entre OA et AB vaut 40°). Cela signifie que : angle (Ax, AB) = 50°.
Cette valeur se retrouve, par le théorème de la tangente‐chordes, dans l’angle inscrit opposé à [AB] (c’est‑à‑dire celui qui intercepte l’arc complémentaire lorsque A est point de tangence) et montre que, dans le triangle inscrit qui se construit naturellement avec A, M et N, l’angle en A mesure 50°.
────────────────────────────── 4 – Conséquence pour le triangle AMN
Dans tout triangle, la somme des angles vaut 180°. Ici, dans le triangle AMN, on a :
∠MAN + ∠AMN + ∠ANM = 180°.
Nous venons de montrer que, quelle que soit la position de M et N sur l’arc A C D, l’angle inscrit en A (noté ∠MAN) se retrouve fixé par cette construction et vaut 50°.
De plus, la symétrie de la configuration (liée à l’unicité de la tangente en A et à la construction du cercle) entraîne que les angles aux sommets M et N de ce triangle sont égaux. Posons donc :
∠AMN = ∠ANM.
On a alors :
50° + 2×∠AMN = 180° ⟹ 2×∠AMN = 130° ⟹ ∠AMN = 65°.
De même, ∠ANM = 65°.
────────────────────────────── 5 – Conclusion
La construction, en imposant d’une part une demi‐droite Ax faisant 50° avec AB et d’autre part en déterminant O comme l’intersection de la perpendiculaire à Ax et de la médiatrice de AB, force la tangente au cercle en A à être égale à Ax. Grâce au théorème de la tangente‐chordes, on montre que l’angle inscrit en A (dans le triangle AMN) mesure 50°. Par conséquent, les deux angles restants (aux sommets M et N) sont égaux et se calculent ainsi :
∠AMN = ∠ANM = (180° – 50°) / 2 = 65°.
────────────────────────────── Réponse finale
Dans le triangle inscrit AMN, on a :
∠AMN = 65° et ∠ANM = 65°.