Exercice 9
Construire un rectangle dont la diagonale mesure 10 cm et la largeur mesure 4 cm.
Réponse
La longueur du rectangle est l = 2√21 cm, car en appliquant le théorème de Pythagore on a : l² + 4² = 10² ⟹ l² = 84 et l = √84 = 2√21.
Corrigé détaillé
Nous avons un rectangle dont la diagonale mesure 10 cm et la largeur (côté « court ») mesure 4 cm. Pour construire ce rectangle, nous devons déterminer la longueur (côté « long »). Pour cela, nous utiliserons le théorème de Pythagore qui s’applique dans un rectangle.
Étape 1 : Écriture de la relation
Dans un rectangle, la diagonale, la longueur et la largeur forment un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore nous dit que : (longueur)² + (largeur)² = (diagonale)².
En remplaçant par les données de l’exercice : l² + 4² = 10².
Étape 2 : Calcul de la longueur
Il faut d’abord développer les carrés : l² + 16 = 100.
Ensuite, isolons l² en soustrayant 16 des deux côtés de l’équation : l² = 100 – 16 l² = 84.
Pour trouver la longueur l, prenons la racine carrée des deux côtés : l = √84.
On peut simplifier √84, car 84 = 4 × 21 : l = √(4 × 21) = √4 × √21 = 2√21.
Ainsi, la longueur du rectangle est 2√21 cm (ce qui est environ 9,17 cm si l’on veut une valeur approchée).
Étape 3 : Démarche de construction
- À l’aide d’une règle, tracez une ligne horizontale de longueur 2√21 cm. Cette ligne représentera la longueur du rectangle.
- Depuis l’une des extrémités de cette ligne, utilisez une équerre pour tracer une ligne perpendiculaire de 4 cm de long. Cette ligne sera la largeur.
- À partir de l’extrémité de cette largeur, tracez une ligne parallèle à la première ligne (la longueur) de 2√21 cm.
- Complétez le rectangle en reliant les extrémités des lignes opposées par une ligne parallèle à la largeur (4 cm).
Vérifiez que la diagonale ainsi obtenue, tracée entre des sommets opposés, mesure bien 10 cm (en utilisant à nouveau le théorème de Pythagore pour confirmer).
Conclusion :
Le rectangle a pour dimensions la largeur de 4 cm et la longueur de 2√21 cm. La construction se fait en dessinant d’abord un segment de 2√21 cm, puis en ajoutant une largeur de 4 cm perpendiculaire et en complétant le rectangle avec des segments parallèles. La relation entre les côtés et la diagonale est confirmée par l’équation : (2√21)² + 4² = 10² ⟹ 84 + 16 = 100.
Ce procédé permet de construire précisément le rectangle avec les dimensions demandées.