Exercice 8

Trace le segment \([BC]\). Construis un triangle isocèle \(ABC\) rectangle en \(A\).

Réponse

Tracez le segment [BC] et trouvez son milieu M à l’aide de la médiatrice. Ensuite, tracez la droite perpendiculaire à [BC] passant par M et placez, sur cette droite, le point A tel que la distance AB (égale à AC) corresponde à MB (ou MC). Reliez A à B et A à C pour obtenir le triangle isocèle rectangle en A.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour réaliser la construction du triangle isocèle ABC rectangle en A à partir du segment [BC] :

1. Tracer le segment [BC]
   • Sur votre feuille, tracez un segment et nommez ses extrémités B et C.

2. Déterminer le milieu de [BC]
   • Pour obtenir le milieu, placez la pointe sèche de la règle au-dessus de B et C en prenant soin d’utiliser la technique de la médiatrice :
     – Ouvrez votre compas à une ouverture supérieure à la moitié du segment [BC].
     – Placez la pointe du compas en B et tracez un arc de cercle au-dessus et au-dessous de [BC].
     – Sans changer l’ouverture du compas, répétez cette opération avec la pointe en C.
     – Les deux arcs se coupent en deux points.
   • Tracez alors la droite passant par ces deux points d’intersection ; cette droite est la médiatrice de [BC].
   • Le point d’intersection de la médiatrice et du segment [BC] est le milieu, noté M.

3. Construire la droite perpendiculaire à [BC] passant par M
   • La médiatrice obtenue à l’étape précédente est exactement la droite perpendiculaire à [BC] passant par son milieu M.
   • Cette droite servira de support pour placer le point A.

4. Déterminer le point A sur la médiatrice
   • Dans un triangle rectangle en A dont les deux côtés (les jambes) sont égaux, A doit être placé sur la droite perpendiculaire à [BC] en passant par M de façon à ce que les longueurs AB et AC soient égales.
   • Pour y parvenir, procédez comme suit :
     – Avec votre compas, placez la pointe en M et ouvrez-le avec une longueur égale à MB (qui est aussi égal à MC car M est le milieu de [BC]).
     – Tracez un arc de cercle en partant de M le long de la droite perpendiculaire.
   • Ce cercle intersecte la droite perpendiculaire en deux points. Choisissez l’un de ces points et nommez-le A.

5. Relier A à B et A à C
   • Tracez le segment [AB] de A à B.
   • Tracez le segment [AC] de A à C.

Explications complémentaires :

• Dans le triangle ainsi construit, l’angle en A est rectangle (90°).
• Étant donné que A se trouve sur la médiatrice de [BC], les distances AB et AC sont égales.
• Ainsi, le triangle ABC est à la fois rectangle en A et isocèle (avec AB = AC).

Votre construction est maintenant complète et répond aux consignes de l’exercice.