Exercice 7

Tracez deux droites sécantes \(a\) et \(b\). Choisissez un point \(A\) appartenant à \(a\) mais pas à \(b\). Construisez un cercle passant par le point \(A\) et tangent aux droites \(a\) et \(b\). Combien de solutions existe-t-il ?

Réponse

Il existe deux cercles passant par le point \(A\) et tangents aux droites \(a\) et \(b\).

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape en utilisant des notions de géométrie élémentaire. L’objectif est de déterminer combien de cercles passent par le point \(A\) et sont tangents aux droites \(a\) et \(b\).

1. Compréhension du Problème

Nous avons : - Deux droites sécantes \(a\) et \(b\), c’est-à-dire qu’elles se coupent en un point. - Un point \(A\) situé sur la droite \(a\) mais pas sur \(b\). - Nous devons construire un cercle qui : - Passe par le point \(A\). - Est tangent aux droites \(a\) et \(b\).

2. Réflexion sur les Conditions de Tangence

Pour qu’un cercle soit tangent à une droite, le centre du cercle doit être à une distance égale au rayon du cercle par rapport à cette droite. De plus, la droite passant par le centre du cercle et le point de tangence est perpendiculaire à la droite.

3. Localisation du Centre du Cercle

Soient les droites \(a\) et \(b\) qui se coupent en un point \(O\). Puisque le cercle est tangent aux deux droites, son centre \(C\) doit être situé à égale distance des droites \(a\) et \(b\). Cette propriété implique que le centre \(C\) se trouve sur l’une des bissectrices de l’angle formé par \(a\) et \(b\).

Il y a deux bissectrices possibles : - La bissectrice intérieure. - La bissectrice extérieure.

4. Construction des Bissectrices

1. Bissectrice intérieure : Elle divise l’angle formé par \(a\) et \(b\) en deux angles égaux internes.
2. Bissectrice extérieure : Elle divise l’angle formé par \(a\) et \(b\) en deux angles égaux externes.

Le centre \(C\) du cercle doit appartenir à l’une de ces deux bissectrices.

5. Détermination des Cercles Possibles

• Cas 1 : Centre sur la bissectrice intérieure

  En plaçant le centre \(C\) sur la bissectrice intérieure et en veillant à ce que le cercle passe par le point \(A\), nous obtenons un cercle qui satisfait les conditions du problème.

• Cas 2 : Centre sur la bissectrice extérieure

  De même, en plaçant le centre \(C\) sur la bissectrice extérieure et en veillant à ce que le cercle passe par le point \(A\), nous obtenons un autre cercle qui satisfait les conditions.

6. Conclusion sur le Nombre de Solutions

Étant donné qu’il existe deux bissectrices (interne et externe) et que chacune fournit un centre \(C\) distinct permettant de construire un cercle passant par \(A\) et tangent aux droites \(a\) et \(b\), il en résulte qu’il existe deux solutions possibles à ce problème.

7. Résumé

• Première solution : Cercle centré sur la bissectrice intérieure.
• Deuxième solution : Cercle centré sur la bissectrice extérieure.

Ainsi, il existe deux cercles qui passent par le point \(A\) et sont tangents aux droites \(a\) et \(b\).