Exercice 5

Tracer une droite \(d\). Choisir un point \(A\) sur \(d\) et un point \(B\) qui n’est pas sur \(d\). Construire un cercle passant par \(B\) et tangent en \(A\) à la droite \(d\).

Réponse

On construit la perpendiculaire à d passant par A et la médiatrice de [AB]. Leur intersection, point O, est le centre du cercle, qui est tracé avec le rayon OA (égal à OB), assurant que le cercle passe par B et est tangent à d en A.

Corrigé détaillé

Nous allons construire le cercle en respectant ces deux conditions : il doit passer par le point B et être tangent en A à la droite d. Pour qu’un cercle soit tangent à une droite en un point, son centre doit se trouver sur la perpendiculaire à cette droite passant par ce point. De plus, le centre doit être à égale distance de A et de B puisqu’il s’agit d’un cercle passant par ces deux points. Voici les étapes détaillées de la construction :

1. Tracer la droite d.
   – À l’aide d’une règle, tracez une droite d sur votre feuille.

2. Choisir un point A sur la droite d et un point B hors de la droite.
   – Marquez un point A directement sur la droite d.
   – Choisissez ensuite un point B qui se trouve en dehors de d (assurez-vous que B n’est pas aligné avec d).

3. Construire la perpendiculaire à la droite d passant par A.
   – Avec votre équerre ou compas, tracez la perpendiculaire à d en A. Cette droite sera utile pour trouver l’emplacement du centre du cercle puisque le centre doit être situé sur cette perpendiculaire pour que le cercle soit tangent à d en A.

4. Tracer la médiatrice du segment [AB].
   – Pour construire la médiatrice, placez la pointe sèche du compas sur A et ouvrez-le pour qu’il passe par B.
   – Tracez un arc au-dessus et un au-dessous du segment AB.
   – Répétez l’opération en plaçant la pointe sèche sur B avec la même ouverture du compas, et tracez deux arcs qui coupent ceux provenant de A.
   – Joignez les points d’intersection de ces arcs avec une ligne droite : c’est la médiatrice du segment AB.
   – Notez que la médiatrice regroupe tous les points à équidistance de A et B, ce qui implique que le centre du cercle doit se situer sur cette droite.

5. Déterminer le centre O du cercle.
   – Le centre O du cercle est le point d’intersection entre la perpendiculaire à d en A (étape 3) et la médiatrice de [AB] (étape 4).
   – Marquez ce point d’intersection comme étant O.

6. Construire le cercle.
   – Utilisez O comme centre du cercle et prenez comme rayon la distance OA (ou OB, car O est équidistant de A et B).
   – Avec le compas, placez la pointe sèche sur O, ouvrez-le jusqu’à A et tracez le cercle.

Vérification :
– Par construction, le cercle passe par A et B.
– Puisque O se trouve sur la perpendiculaire à d en A, la droite d est bien tangente au cercle en A.

Cette construction répond aux conditions de l’exercice et respecte les propriétés géométriques du cercle tangent.