Exercice 3

Tracer un cercle \(C\) et placer un point \(A\) sur ce cercle. Construire la tangente par le point \(A\) au cercle \(C\).

Réponse

Tracer un cercle de centre O, placer le point A sur sa circonférence, dessiner le rayon OA, puis construire la perpendiculaire à OA passant par A. Cette droite, coupant le cercle uniquement en A, est la tangente en A.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice proposé :

1. Définir et tracer le cercle et le point : • À l’aide d’une règle et d’un compas, tracez un cercle C. Vous pouvez par exemple choisir un point O et fixer un rayon r, puis placer le compas sur O et tracer le cercle. • Placez ensuite un point A sur la circonférence du cercle C. Ce point A sera le point de contact entre le cercle et la tangente qu’on va construire.

2. Construire le rayon passant par A : • Tracez le segment OA reliant le centre O du cercle au point A. Ce segment est un rayon du cercle C.

3. Construire la tangente en A : • Une propriété importante en géométrie indique que la tangente à un cercle en un point donné est perpendiculaire au rayon passant par ce point. • Utilisez cette propriété pour construire la droite perpendiculaire au segment OA passant par le point A. • Pour réaliser une construction perpendiculaire, vous pouvez suivre la méthode suivante :

   1. Placez la pointe sèche du compas sur A et ouvrez-le avec une ouverture quelconque (mais suffisamment grande pour intersecter la droite OA de part et d’autre d’A).
   2. Tracez un arc de cercle de part et d’autre de la droite OA, de sorte qu’il coupe le segment OA en deux points distincts.
   3. Avec une ouverture légèrement supérieure, placez la pointe sèche du compas sur chacun des deux points d’intersection obtenus, et tracez deux arcs se coupant à proximité de A.
   4. Joignez le point A au point d’intersection de ces deux arcs. La droite ainsi obtenue est perpendiculaire au segment OA en A.

   • La droite ainsi construite sera la tangente au cercle C en A, car elle est perpendiculaire au rayon OA.

4. Vérification : • Vérifiez que cette droite ne coupe le cercle qu’en A uniquement, ce qui est la condition caractéristique d’une tangente.

Ainsi, en suivant ces étapes, vous avez construit le cercle C, placé le point A sur le cercle, tracé le rayon OA, et finalement construit la droite perpendiculaire à OA en A qui est la tangente à C en A.