Exercice 2

Construire un carré dont la diagonale mesure 7 cm.

Réponse

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Chaque côté du carré mesure (7√2)/2 cm. Pour le construire, tracez la diagonale de 7 cm, trouvez son milieu, construisez la perpendiculaire passant par ce milieu pour obtenir l’autre diagonale puis reliez les sommets obtenus afin de former le carré.

Corrigé détaillé

Nous allons construire un carré dont la diagonale mesure 7 cm et expliquer les étapes en détail afin de bien comprendre la démarche.

────────────────────────────── 1. Calcul de la longueur du côté

Dans un carré, la diagonale (d) et le côté (s) sont liés par la relation :   d = s × √2

Ici, la diagonale mesure 7 cm, donc :   7 = s × √2

Pour trouver s, on divise par √2 :   s = 7 / √2

Pour obtenir une expression sans radical au dénominateur, on multiplie numérateur et dénominateur par √2 :   s = (7√2) / (√2×√2) = (7√2) / 2

Ainsi, la longueur de chaque côté du carré est (7√2) / 2 cm.

────────────────────────────── 2. Méthode de construction géométrique

On va maintenant utiliser des outils de géométrie (règle et compas) pour construire le carré à partir de sa diagonale.

Étape 1 : Tracer le segment de diagonale  • Tracez un segment [AB] de 7 cm qui sera la diagonale du carré.

Étape 2 : Trouver le milieu de la diagonale  • À l’aide du compas, reportez la distance depuis A et B sur un cercle centré respectivement en A et en B (cercle de rayon 7 cm environ ou mieux, utiliser la méthode du compas pour trouver le milieu).  • Les deux cercles se coupent en deux points. Reliez l’un de ces points avec A et B pour tracer la médiatrice du segment AB.  • La médiatrice coupe AB en M, le milieu de AB.

Étape 3 : Construire la perpendiculaire passant par M  • La deuxième diagonale du carré doit être perpendiculaire à AB et passer par M.  • À l’aide de l’équerre ou d’une méthode de construction de la perpendiculaire, tracez une droite passant par M et perpendiculaire à AB.

Étape 4 : Déterminer les points qui définissent le carré  • Avec M comme centre et MA (ou MB) comme rayon (MA = MB = 7/2 cm), tracez un cercle.  • Ce cercle et la droite perpendiculaire à AB se coupent en deux points, que nous noterons C et D. Ces points constituent les extrémités de la seconde diagonale.

Étape 5 : Former le carré  • Reliez les points dans l’ordre suivant : A, C, B, D, et enfin revenez à A.  • Vous obtenez ainsi un carré.  • Vous pouvez vérifier que tous les côtés sont égaux et que les angles sont droits.

────────────────────────────── Remarque sur les calculs

La relation utilisée (d = s√2) est une propriété importante des carrés et elle provient du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par deux côtés et la diagonale.

────────────────────────────── Conclusion

Le carré obtenu possède une diagonale de 7 cm et chaque côté mesure exactement (7√2) / 2 cm. Cette construction vous permet de réaliser le carré à l’aide d’une règle et d’un compas tout en appliquant vos connaissances sur la relation entre la diagonale et le côté d’un carré.

Ainsi, la construction détaillée et le calcul vous permettent de bien comprendre la démarche à suivre pour obtenir le carré recherché.

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