Exercices corrigés de Constructions géométriques - 11e
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Exercice 1
Difficulté : 75/100
Trace une droite $d$. Place un point $Q$ situé à 4 cm de $d$. Construis une droite $g$, perpendiculaire à $d$, qui passe par $Q$. À partir de $Q$, trace une droite $h$ faisant un angle de $65^\circ$ avec $d$. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 2
Difficulté : 55/100
Dessine deux cercles de rayons différents qui se croisent aux points $C$ et $D$. Trace dans chaque cercle un diamètre passant par $C$, avec les extrémités notées $R$ et $S$ respectivement. Observe la disposition des points $R$, $D$ et $S$. Que remarques-tu ?
Exercice 3
Difficulté : 75/100
Trace un cercle $c$ de rayon $4,2 \, \text{cm}$ et de centre $O$.
Place un point $Q$ tel que $OQ = 8,0 \, \text{cm}$.
Construis les tangentes au cercle $c$ passant par $Q$.
Exercice 4
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[AB]$ de longueur $5,8 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $n$ du segment $[AB]$. Place un point $P$ tel que l'angle entre $[AP)$ et $[AB]$ mesure $45^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $q$ passant par $A$, coupant la médiatrice $n$ en un point $C$. Trace le cercle $(\omega)$ de centre $C$ et de rayon $CA$, qui coupe la médiatrice $n$ en deux points $D$ et $E$. Sur l'arc $\widehat{DBE}$, place un point $F$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{DAF}$.
Exercice 5
Difficulté : 70/100
Soit un triangle équilatéral noté $ \triangle ABC $. Construisez un cercle qui est tangent à un côté du triangle, tout en passant par les deux autres sommets.
Exercice 6
Difficulté : 30/100
Complète le dessin ci-dessous pour tracer le développement d'une pyramide à base carrée.
Exercice 7
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[XY]$ de longueur $4,7 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $m$ du segment $[XY]$. Place un point $Q$ tel que l'angle entre $[XQ)$ et $[XY]$ mesure $30^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $r$ passant par $X$, coupant la médiatrice $m$ en un point $P$. Trace le cercle $(\gamma)$ de centre $P$ et de rayon $PX$, qui coupe la médiatrice $m$ en deux points $R$ et $S$. Sur l'arc $\widehat{RYS}$, place un point $T$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{XRT}$.
Exercice 8
Difficulté : 75/100
Trace un cercle $c$ de rayon $5,0 \, \text{cm}$ et de centre $P$. \ Place un point $R$ tel que $PR = 10,0 \, \text{cm}$. \ Construis les tangentes au cercle $c$ passant par $R$.
Exercice 9
Difficulté : 45/100
Construis un triangle $ABC$ où $C$ est un angle obtus. Dessine les médiatrices des trois côtés, et identifie les points où elles coupent les côtés ou leurs prolongements. Détermine ensuite, dans chaque cas, la relation des distances des sommets à ces points d'intersection et démontre les égalités obtenues.
Exercice 10
Difficulté : 45/100
Construisez un quadrilatère dont deux côtés opposés mesurent 8 cm et les deux autres côtés opposés mesurent 5 cm.
Exercice 11
Difficulté : 45/100
Dessinez un parallélogramme dont deux côtés opposés mesurent 7 cm, et les deux autres côtés opposés mesurent 4 cm.
Exercice 12
Difficulté : 45/100
Dessinez un triangle dont les deux côtés mesurent respectivement 6 cm et 4 cm, avec un angle entre eux mesurant 60°.
Exercice 13
Difficulté : 45/100
Dessinez un rectangle dont deux côtés opposés mesurent 10 cm et les deux autres côtés opposés mesurent 6 cm.
Exercice 14
Difficulté : 45/100
Tracez un rectangle où les deux côtés horizontaux mesurent 10 cm et les deux côtés verticaux mesurent 6 cm.
Exercice 15
Difficulté : 45/100
Tracez un triangle isocèle dont la base mesure 10 cm et les côtés égaux mesurent 8 cm chacun.
Exercice 16
Difficulté : 45/100
Construisez un pentagone régulier dont chaque côté mesure 6 cm.
Exercice 17
Difficulté : 60/100
a) Dessine un triangle équilatéral $ABC$ tel que $AB = 5 \, \text{cm}$.
b) Trace les cercles circonscrits correspondants aux homothéties $\mathcal{H}(O ; 2)$ et $ \mathcal{H}(O ; -2)$ avec $O$ comme centre.
Exercice 18
Difficulté : 60/100
a) Dessiner un triangle $ABC$ avec les côtés $AB = 5 \, \text{cm}$, $BC = 6 \, \text{cm}$ et $CA = 7 \, \text{cm}$.
b) Déterminer les rotations $\mathcal{R}(O, 90^\circ)$ et $\mathcal{R}(O, -90^\circ)$ appliquées au triangle $ABC$, où $O$ est le centre de rotation.
Exercice 19
Difficulté : 60/100
Sur la droite $d$:
\ 1. Place un point $A$ tel que $OA = 4,0 \, \text{cm}$.\ 2. Place un point $B$ tel que $OB = 6,0 \, \text{cm}$.\ Sur la demi-droite issue de $O$ à partir de $d$ et dirigeant vers un autre point $C$: \ 3. Place un point $P$ tel que $OP = 3,5 \, \text{cm}$.\ 4. Trace un vecteur $\vec{v}$ reliant $A$ et $P$.\ 5. Trace un vecteur $\vec{u}$ parallèle à $\vec{v}$ reliant $B$ à un point $Q$ sur cette demi-droite.\ Questions :\ a) Calcule la longueur $OQ$ et vérifie la relation avec les mesures prises.\ b) Déduis la distance $AP$ et confirmes.\ c) Sous l'hypothèse de $\vec{v}$ parallèles à $\vec{u}$, détermine $AQ$ et $CP$.
Exercice 20
Difficulté : 60/100
Sur la droite $AB$ :
-
Place un point $C$ tel que $AC = 4,0 \, \text{cm}$.\
-
Place un point $D$ tel que $AD = 7,0 \, \text{cm}$.\
Sur une droite parallèle $CD'$ :
-
Place un point $E$ tel que $CE = 5 \, \text{cm}$.\
-
Trace une droite passant par $D$ et parallèle à $CE$, croisant $AB$ en $F$.\
-
Trace une perpendiculaire à $AB$ passant par $F$.\
Questions :
a) Calcule la longueur $BF$ et confirme par mesure.\
b) Trouve la surface du triangle $CDF$.\
c) En supposant que $FG$ est déterminé au point $F$, calcule la longueur $AG$ et $BH$.
Exercice 21
Difficulté : 40/100
Tracez un cercle de rayon 4 cm et un autre cerclet concentrique à une distance de 12 cm en dessous. Reliez leurs circonférences correspondantes pour former un solide de révolution, un cylindre.
Exercice 22
Difficulté : 35/100
Construis un triangle équilatéral à l'aide d'une règle et d'un compas.
Exercice 23
Difficulté : 75/100
Trace un cercle de rayon 5 cm et nomme-le cercle $ C $. Place un point $ A $ à l'extérieur du cercle tel que la distance entre $ A $ et le centre du cercle soit 8 cm. Dessine une tangente à $ C $ depuis $ A $. Mesure l'angle entre cette tangente et le rayon passant par le point de contact.
Exercice 24
Difficulté : 75/100
Trace un cercle $c$ de rayon $3,5 \, \text{cm}$ et de centre $A$.
Place un point $P$ tel que $AP = 7,2 \, \text{cm}$.
Construis les tangentes au cercle $c$ passant par $P$.
Exercice 25
Difficulté : 75/100
Trace une ellipse $e$ ayant un grand axe de $6,0 \ \text{cm}$ et un petit axe de $4,0 \ \text{cm}$. Place un point $R$ situé à $5,0 \ \text{cm}$ d'un des foyers de l'ellipse. Construis les deux droites tangentes à $e$ passant par $R$.
Exercice 26
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[CD]$ de longueur $7,2 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $m$ du segment $[CD]$. Place un point $Q$ tel que l'angle entre $[CQ)$ et $[CD]$ mesure $30^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $r$ passant par $C$, coupant la médiatrice $m$ en un point $G$. Trace le cercle $(\theta)$ de centre $G$ et de rayon $GC$, qui coupe la médiatrice $m$ en deux points $H$ et $I$. Sur l'arc $\widehat{HCI}$, place un point $J$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{CHD}$.
Exercice 27
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[CD]$ de longueur $7,4 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $m$ du segment $[CD]$. Place un point $Q$ tel que l'angle entre $[CQ)$ et $[CD]$ mesure $60^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $p$ passant par $C$, coupant la médiatrice $m$ en un point $G$. Trace le cercle $(\alpha)$ de centre $G$ et de rayon $GC$, qui coupe la médiatrice $m$ en deux points $H$ et $I$. Sur l'arc $\widehat{HCI}$, place un point $J$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{CHJ}$.
Exercice 28
Difficulté : 45/100
Tracez un rectangle où un côté mesure 7 cm et le côté adjacent mesure 4 cm, puis indiquez ses dimensions.
Exercice 29
Difficulté : 45/100
Tracez un triangle équilatéral ayant chaque côté mesurant 6 cm.
Exercice 30
Difficulté : 45/100
Construisez un triangle isocèle dont les deux côtés égaux mesurent 6 cm chacun et dont la base mesure 9 cm.
Exercice 31
Difficulté : 45/100
a) Dessine un pentagone régulier et considère les segments reliant tous les couples de sommets.
b) Identifie les triangles formés par ces segments et classe-les selon leurs propriétés géométriques (par exemple, équilatéraux, isocèles, scalènes, etc.).
Exercice 32
Difficulté : 60/100
Sur la droite $d$ passant par les points $A$ et $B$ :
-
Place un point $M$ tel que $AM = 3,5 \, \text{cm}$ dans la direction de $AB$.\
-
Place un point $N$ sur $d$ tel que $AN = 6,0 \, \text{cm}$.\
Dans le plan :\
-
Trace une droite $p$ perpendiculaire à $d$ passant par $B$.\
-
Place un point $P$ sur $p$ tel que $BP = 4,0 \, \text{cm}$.\
-
Connecte les points $P$ et $M$ pour former le segment $PM$.\
-
Relie les points, si applicable, pour créer un triangle ou une autre image, et réalisez les constructions géométriques nécessaires.\
Questions :
a) Calcule la distance minimale entre les points $P$ et $A$.
b) Compare les distances $PM$ et $PN$.
c) Si $N$ glisse sur la droite $d$, comment varient les relations angulaires et les distances liées?
Exercice 33
Difficulté : 62/100
a) Trace un agrandissement de la figure $f$ pour que l'hypoténuse du triangle rectangle mesure $9~\mathrm{cm}$.
b) Complète la projection de la figure ci-jointe en n'utilisant qu'une règle sans échelle.
Exercice 34
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[CD]$ de longueur $7,2 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $m$ du segment $[CD]$. Place un point $Q$ tel que l'angle entre $[CQ)$ et $[CD]$ mesure $60^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $r$ passant par $C$, coupant la médiatrice $m$ en un point $E$. Trace le cercle $(\theta)$ de centre $E$ et de rayon $EC$, qui coupe la médiatrice $m$ en deux points $G$ et $H$. Sur l'arc $\widehat{GCH}$, place un point $J$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{GEJ}$.
Exercice 35
Difficulté : 40/100
On place un triangle équilatéral à une hauteur fixe et on le fait tourner autour d'un axe vertical passant par sa médiane, formant ainsi un solide de révolution appelé « cône ». Si le triangle a un côté de 6 cm, représentez la vue en perspective de ce cône.
Exercice 36
Difficulté : 65/100
Explique d'une manière claire et détaillée comment tracer les cercles inscrits et circonscrits à un polygone régulier donné :
(a) Un hexagone régulier.
(b) Un carré.
(c) Un pentagone régulier.
Présente les étapes à suivre pour accomplir cette tâche en utilisant uniquement un compas et une règle (non graduée).
Exercice 37
Difficulté : 30/100
Trace un triangle équilatéral de côté 8 cm sur du papier quadrillé. Utilise une règle pour maintenir la précision.
Exercice 38
Difficulté : 60/100
La droite $EF$ est parallèle à la droite $g$. Construis un cercle passant par les points $E$ et $F$ et tangent à la droite $g$.
Exercice 39
Difficulté : 60/100
Construis un rectangle $HIJK$ ayant une aire de $48 \, \mathrm{cm}^2$ et comprenant exactement deux côtés parallèles égaux.
Exercice 40
Difficulté : 60/100
Sur ton cahier, construis un triangle $DEF$ isocèle de côté de base $8 \, \text{cm}$ et d’une hauteur de $10 \, \text{cm}$.
-
Sur chacun des côtés du triangle, place deux points équidistants qui divisent chaque côté en trois segments égaux.
-
Relie ces points pour former de nouveaux triangles à l'intérieur du triangle $DEF$.
a) Mesure les longueurs des côtés de ces triangles et compare-les.
b) Calcule les aires des triangles formés et compare-les à celle du triangle initial $DEF$.
Exercice 41
Difficulté : 45/100
Construit un trapèze $ABCD$ isocèle avec $AB \parallel CD$. Trace les diagonales $[AC]$ et $[BD]$. Montre que les diagonales se coupent en leur milieu et sont de longueur égale. Calculer, si $AB = 8$, $CD = 4$, et les hauteurs du trapèze mesurent $5$ unités, la distance entre le milieu des côtés parallèles.
Exercice 42
Difficulté : 75/100
Trace une droite $l$. Place un point $P$ situé à 6 cm de $l$. Construis une droite $k$, perpendiculaire à $l$, qui passe par $P$. À partir de $P$, trace une droite $m$ faisant un angle de $45^\circ$ avec $l$. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 43
Difficulté : 45/100
Construis un triangle $DEF$ où $F$ est un angle droit. Trace les médianes issues des sommets de ce triangle. Nomme les longueurs des segments des médianes comme suit : pour la médiane issue de $D$, nommez les segments en deux parties, en appelant les longueurs des segments formés par la division $m_1$ et $m_2$, et faites de même pour les médianes issues des autres sommets.
Exercice 44
Difficulté : 75/100
Trace une droite $d$. Place un point $R$ situé à 5 cm de $d$. Construis une droite $k$, perpendiculaire à $d$, qui passe par $R$. À partir de $R$, trace une droite $l$ faisant un angle de $45^\circ$ avec $d$. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 45
Difficulté : 70/100
Trace un segment $[CD]$ de longueur $7,2 \ \mathrm{cm}$. Construis la médiatrice $m$ du segment $[CD]$. Place un point $Q$ tel que l'angle entre $[CQ)$ et $[CD]$ mesure $60^{\circ}$. Construis une perpendiculaire $r$ passant par $D$, coupant la médiatrice $m$ en un point $G$. Trace le cercle $(\gamma)$ de centre $G$ et de rayon $GD$, qui coupe la médiatrice $m$ en deux points $H$ et $I$. Sur l'arc $\widehat{HIG}$, place un point $J$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{CHJ}$.
Exercice 46
Difficulté : 75/100
Trace un cercle $c'$ de rayon $3,8 \, \text{cm}$ et de centre $M$.
Place un point $P$ tel que $MP = 6,5 \, \text{cm}$.
Construis les tangentes au cercle $c'$ passant par $P$.
Exercice 47
Difficulté : 75/100
Trace une droite $ x $. Place un point $ P $ situé à 5 cm de $ x $. Construis une droite $ y $, perpendiculaire à $ x $, qui passe par $ P $. À partir de $ P $, trace une droite $ z $ faisant un angle de $ 45^\circ $ avec $ x $. Mesure les six angles formés par ces droites.
Exercice 48
Difficulté : 45/100
Construisez un rectangle dont les deux longueurs mesurent 6 cm et les deux largeurs mesurent 3 cm.
Exercice 49
Difficulté : 45/100
Construisez un quadrilatère dont deux côtés opposés mesurent 10 cm et les deux autres côtés opposés mesurent 7 cm.
Exercice 50
Difficulté : 45/100
Construisez un trapèze ayant une base mesurant 10 cm, une autre base mesurant 6 cm et avec des côtés non parallèles de 4 cm chacun.
Exercice 51
Difficulté : 45/100
Construisez un quadrilatère dont deux côtés opposés mesurent 7 cm et les deux autres côtés opposés mesurent 6 cm.
Exercice 52
Difficulté : 45/100
Dessinez un pentagone régulier dont chaque côté mesure 6 cm.
Exercice 53
Difficulté : 45/100
Construisez un rectangle dont les côtés opposés mesurent 6 cm et 3 cm respectivement.
Exercice 54
Difficulté : 70/100
Exercice
Un rectangle et un paralélogramme doivent être représentés sous différentes formes géométriques.
Question 1 :
Dessinez un rectangle dans les grilles fournies ci-dessous, en respectant les dimensions spécifiées :
Cas a : Dimension 5 cm × 3 cm
Cas b : Dimension 6 cm × 4 cm
Cas c : Dimension 7 cm × 2 cm
Question 2 :
Construisez un parallèle en perspective des formes géométriques suivantes :
Triangle Équilatéral
- Longueur des côtés $a = 5 \, \text{cm}$
Carré
- Longueur de côté $a = 3 \, \text{cm}$.
Question 3 :
Dans les images suivantes, identifiez et ajustez les erreurs dans les représentations en perspective :
Vue a :
Vue b :
Question 4 :
À l’aide d’un gabarit, tracez l'ombrage d’un cube sous une lumière supposée parallèle.
Exercice 55
Difficulté : 60/100
Sur l'axe horizontal :
-
Place un point $A$ tel que $OA = 3,2 \, \text{cm}$.\
-
Place un point $B$ tel que $OB = 6,4 \, \text{cm}$.\
Sur l'axe vertical :
-
Place un point $C$ tel que $OC = 4 \, \text{cm}$.\
-
Trace la droite $AC$.\
-
Trace une droite $BD$ parallèle à $AC$, avec $D$ sur l'axe vertical.\
Questions :
a) Calcule $OD$ et compare avec la mesure obtenue.
b) Calcule la distance $PE$.
c) En supposant $AB \parallel CD$, calcule $QR$ et $ST$.
Exercice 56
Difficulté : 35/100
Tracez à main levée, en perspective, les figures suivantes :
a) Une maison simple comprenant un toit à deux pentes égales.
b) Une maison avec un toit asymétrique ayant deux pentes différentes.
c) Une maison avec un toit plat et aucune pente.
d) Une maison avec un toit comprenant une seule pente continue.
Exercice 57
Difficulté : 65/100
Trace un cercle $ c $ de rayon $ 5,2 \, \mathrm{cm} $ et de centre $ C $. Place un point $ M $ sur le cercle. Construis la tangente au cercle $ c $ passant par $ M $.
Exercice 58
Difficulté : 45/100
Dessinez un triangle isocèle avec une base de 6 cm et des côtés égaux mesurant 7 cm chacun.
Exercice 59
Difficulté : 65/100
Construisez tous les triangles $ABC$ pour lesquels deux des bissectrices intérieures sont respectivement les droites $d$ et $e$.
Exercice 60
Difficulté : 75/100
Trace un cercle $c$ de rayon $3,5 \, \text{cm}$ et de centre $P$.
Place un point $K$ tel que $PK = 7,0 \, \text{cm}$.
Construis les tangentes au cercle $c$ passant par $K$.
Exercice 61
Difficulté : 40/100
Construis le développement d’une pyramide dont les caractéristiques sont les suivantes : $$ \begin{aligned} & AB = 6 \, \text{cm}, OS = 5 \, \text{cm}. \end{aligned} $$
Exercice 62
Difficulté : 82/100
Construis un polygone régulier à 7 côtés (un heptagone).
Exercice 63
Difficulté : 43/100
Tracez un parallélogramme $ABCD$ en respectant les conditions suivantes :
-
Les côtés opposés $AB$ et $CD$, ainsi que $AD$ et $BC$, sont parallèles. Les longueurs des côtés sont : $AB = 10\, \text{cm}$ et $AD = 6\, \text{cm}$.
-
L'angle $\widehat{DAB}$ mesure $60^\circ$.
Ensuite, placez un point $P$ sur le côté $BC$ tel que $BP = 4\, \text{cm}$.
Tracez le segment $AP$, puis déterminez la longueur de ce segment ainsi que l'aire totale du parallélogramme.
Exercice 64
Difficulté : 65/100
a) Dessine une pyramide régulière en perspective ainsi que son développement. Dans le développement, mets en évidence les arêtes ayant des longueurs égales en les coloriant de la même couleur.
b) Sur une feuille, réalise précisément le développement d'une pyramide à base carrée dont le côté de la base mesure 4 cm et les arêtes latérales mesurent 6 cm.
c) Découpe le développement et assemble-le pour vérifier la construction de la pyramide.
Exercice 65
Difficulté : 45/100
Dessinez un triangle isoscèle où les deux côtés égaux mesurent 7 cm et la base mesure 10 cm.