Exercice 141

Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes

1. \((-2 x)^{2} \cdot(7 x)\)
2. \(a-(2 b-a-(c-a)-b)+a\)
3. \((3 x+4) \cdot(3 x-4) \cdot\left(9 x^{2}-16\right)\)
4. \((4 x+2) \cdot(4 x-4) \cdot\left(8 x^{2}\right)\)
5. \(\frac{a^{6}-a^{5}}{c^{4}-c^{3}} \cdot \frac{c^{3}-c^{2}}{a^{5}-a^{4}}\)
6. \(\frac{x^{100}-x^{99}}{x^{99}}\)

Réponse

Réponses simplifiées :

1. \(28x^{3}\)
2. \(2a - b + c\)
3. \((9x^{2} - 16)^{2}\)
4. \(64x^{2}(2x + 1)(x - 1)\)
5. \(\frac{a}{c}\)
6. \(x - 1\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question : Écrire aussi simplement que possible chacune des expressions suivantes

1) \((-2x)^{2} \cdot (7x)\)

Étapes de simplification :

1. Calculer le carré de \(-2x\) : \[ (-2x)^{2} = (-2)^{2} \cdot x^{2} = 4x^{2} \]

2. Multiplier le résultat par \(7x\) : \[ 4x^{2} \cdot 7x = 28x^{3} \]

Résultat simplifié : \[ 28x^{3} \]

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2) \(a - (2b - a - (c - a) - b) + a\)

Étapes de simplification :

1. Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses : \[ 2b - a - (c - a) - b \]

2. Développer la parenthèse en changeant les signes : \[ 2b - a - c + a - b \]

3. Combiner les termes similaires : \[ (2b - b) + (-a + a) - c = b - c \]

4. Replacer dans l’expression initiale : \[ a - (b - c) + a \]

5. Développer la parenthèse : \[ a - b + c + a \]

6. Combiner les termes similaires : \[ (a + a) - b + c = 2a - b + c \]

Résultat simplifié : \[ 2a - b + c \]

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3) \((3x + 4) \cdot (3x - 4) \cdot \left(9x^{2} - 16\right)\)

Étapes de simplification :

1. Identifier les expressions du type \((a + b)(a - b)\) qui sont des différences de carrés : \[ (3x + 4)(3x - 4) = (3x)^{2} - 4^{2} = 9x^{2} - 16 \]

2. Remplacer dans l’expression initiale : \[ (9x^{2} - 16) \cdot (9x^{2} - 16) \]

3. Reconnaître que c’est le carré d’une différence : \[ (9x^{2} - 16)^{2} \]

Résultat simplifié : \[ (9x^{2} - 16)^{2} \]

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4) \((4x + 2) \cdot (4x - 4) \cdot (8x^{2})\)

Étapes de simplification :

1. Factoriser les expressions linéaires : \[ 4x + 2 = 2(2x + 1) \] \[ 4x - 4 = 4(x - 1) \]

2. Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ 2(2x + 1) \cdot 4(x - 1) \cdot 8x^{2} \]

3. Multiplier les constantes : \[ 2 \cdot 4 \cdot 8 = 64 \]

4. Rassembler les termes : \[ 64 \cdot (2x + 1) \cdot (x - 1) \cdot x^{2} \]

5. Réorganiser les facteurs : \[ 64x^{2}(2x + 1)(x - 1) \]

Résultat simplifié : \[ 64x^{2}(2x + 1)(x - 1) \]

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5) \(\frac{a^{6} - a^{5}}{c^{4} - c^{3}} \cdot \frac{c^{3} - c^{2}}{a^{5} - a^{4}}\)

Étapes de simplification :

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur de chaque fraction : \[ a^{6} - a^{5} = a^{5}(a - 1) \] \[ c^{4} - c^{3} = c^{3}(c - 1) \] \[ c^{3} - c^{2} = c^{2}(c - 1) \] \[ a^{5} - a^{4} = a^{4}(a - 1) \]

2. Réécrire l’expression avec les facteurs : \[ \frac{a^{5}(a - 1)}{c^{3}(c - 1)} \cdot \frac{c^{2}(c - 1)}{a^{4}(a - 1)} \]

3. Annuler les termes communs dans le numérateur et le dénominateur : \[ \frac{a^{5} \cancel{(a - 1)}}{c^{3} \cancel{(c - 1)}} \cdot \frac{c^{2} \cancel{(c - 1)}}{\cancel{a^{4}} \cancel{(a - 1)}} \]

4. Simplifier les puissances : \[ \frac{a^{5}}{c^{3}} \cdot \frac{c^{2}}{a^{4}} = \frac{a^{5} \cdot c^{2}}{c^{3} \cdot a^{4}} = \frac{a^{1} \cdot c^{-1}}{1} = \frac{a}{c} \]

Résultat simplifié : \[ \frac{a}{c} \]

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6) \(\frac{x^{100} - x^{99}}{x^{99}}\)

Étapes de simplification :

1. Factoriser le numérateur : \[ x^{100} - x^{99} = x^{99}(x - 1) \]

2. Réécrire l’expression : \[ \frac{x^{99}(x - 1)}{x^{99}} \]

3. Annuler \(x^{99}\) dans le numérateur et le dénominateur : \[ x - 1 \]

Résultat simplifié : \[ x - 1 \]