Question : Les trois égalités suivantes sont vraies :
\[ (5a + 7) + (13a - 3) = 18a + 4 \]
\[ (9b + 8) - (4b + 14) = 5b - 6 \]
\[ (10z - 5) - (6z - 2) = 4z - 3 \]
Observe ces trois égalités afin d’établir une règle te permettant d’additionner et de soustraire un polynôme.
Effectue et réduis les expressions littérales suivantes :
\((30a - 50) - (10a + 20) =\)
\((25c + 35) - (5c - 15) =\)
\((7y - 8) + (18 - 3y) =\)
Pour additionner ou soustraire des polynômes, distribuez le signe négatif aux termes à soustraire et regroupez les termes semblables. Ainsi, on obtient :
Nous allons d’abord observer les trois égalités pour comprendre comment additionner ou soustraire des polynômes, puis nous appliquerons cette méthode pour réduire les expressions demandées.
────────────────────────────── 1. RÈGLE POUR ADDITIONNER ET SOUSTRAIRE DES POLYNÔMES
Dans les égalités proposées, on remarque que pour ajouter (ou soustraire) deux polynômes, il faut :
• Regrouper les termes semblables, c’est-à-dire les termes qui
comportent la même variable (ou les constantes qui n’ont pas de
variable).
• Pour l’addition, on place simplement chaque terme ensemble, en
ajoutant leurs coefficients.
• Pour la soustraction, il faut distribuer le signe négatif à tous les
termes du polynôme à soustraire, puis regrouper les termes
semblables.
Exemples :
– Dans (5a + 7) + (13a - 3), on additionne les termes en “a” (5a + 13a =
18a) et les constantes (7 - 3 = 4), ce qui donne 18a + 4.
– Dans (9b + 8) - (4b + 14), on distribue le signe moins : 9b + 8 - 4b -
14. Puis, on regroupe : (9b - 4b) = 5b et (8 - 14) = -6, ce qui donne 5b
- 6.
– Dans (10z - 5) - (6z - 2), on a 10z - 5 - 6z + 2, et ensuite (10z -
6z)= 4z et (-5 + 2)= -3, donnant 4z - 3.
────────────────────────────── 2. RÉDUCTION DES EXPRESSIONS LITTÉRALES
Étape 1 : Distribuer le signe moins au deuxième polynôme
(30a - 50) - (10a + 20) = 30a - 50 - 10a - 20
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en a : 30a - 10a = 20a
Les constantes : -50 - 20 = -70
Donc,
(30a - 50) - (10a + 20) = 20a - 70
────────────────────────────── b) Calculer (25c + 35) - (5c - 15)
Étape 1 : Distribuer le signe moins au deuxième polynôme
(25c + 35) - (5c - 15) = 25c + 35 - 5c + 15
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en c : 25c - 5c = 20c
Les constantes : 35 + 15 = 50
Ainsi,
(25c + 35) - (5c - 15) = 20c + 50
────────────────────────────── c) Calculer (7y - 8) + (18 - 3y)
Étape 1 : Remarquer que l’addition ne nécessite pas de changement
particulier des signes
(7y - 8) + (18 - 3y) = 7y - 8 + 18 - 3y
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en y : 7y - 3y = 4y
Les constantes : -8 + 18 = 10
Donc,
(7y - 8) + (18 - 3y) = 4y + 10
────────────────────────────── RÉSUMÉ
Ces étapes permettent de simplifier correctement les polynômes en appliquant systématiquement la distribution des signes et le regroupement des termes semblables.