Recopiez et complétez le tableau suivant (réponses sous forme irréductible) :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(x^{3}\) | |||
| \(-4\) | ||||
| \(-1\) | ||||
| \(-\dfrac{2}{3}\) | ||||
| \(-0,125\) | ||||
| \(+0,15\) | ||||
| \(+1\) |
Le tableau a été complété en appliquant les opérations définies à chaque valeur de \(x\), calculant ainsi le triple, le cube, l’inverse du double et l’opposé de l’inverse pour chaque entrée.
Pour compléter le tableau donné, nous allons examiner chaque ligne et chaque colonne à compléter en utilisant les définitions des opérations mathématiques mentionnées. Voici une explication détaillée pour chaque cellule manquante.
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(x^{3}\) | |||
| \(-4\) | ||||
| \(-1\) | ||||
| \(-\dfrac{2}{3}\) | ||||
| \(-0,125\) | ||||
| \(+0,15\) | ||||
| \(+1\) |
Complétons les colonnes manquantes pour \(x = -4\).
Triple de \(x\) : \[ 3x = 3 \times (-4) = -12 \]
Cube de \(x\) : \[ x^3 = (-4)^3 = -64 \]
Inverse du double de \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2 \times (-4)} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8} \]
Opposé de l’inverse de \(x\) : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{-4} = \dfrac{1}{4} \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-4\) | \(-12\) | \(-64\) | \(-\dfrac{1}{8}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
Nous cherchons la valeur de \(x\) telle que : \[ \dfrac{1}{2x} = -1 \]
Résolvons pour \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = -1 \\ 1 = -2x \\ x = -\dfrac{1}{2} \]
Avec \(x = -\dfrac{1}{2}\), complétons les autres colonnes.
Triple de \(x\) : \[ 3x = 3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2} \]
Cube de \(x\) : \[ x^3 = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = -\dfrac{1}{8} \]
Opposé de l’inverse de \(x\) : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}} = 2 \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{3}{2}\) | \(-\dfrac{1}{8}\) | \(-1\) | \(2\) |
Nous cherchons la valeur de \(x\) telle que : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{2}{3} \]
Simplifions : \[ \dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{3} \\ x = \dfrac{3}{2} \]
Avec \(x = \dfrac{3}{2}\), complétons les autres colonnes.
Triple de \(x\) : \[ 3x = 3 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2} \]
Cube de \(x\) : \[ x^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8} \]
Inverse du double de \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2 \times \dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{3}{2}\) | \(\dfrac{9}{2}\) | \(\dfrac{27}{8}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(-\dfrac{2}{3}\) |
Nous savons que : \[ x^3 = -0,125 \] Convertissons \(-0,125\) en fraction : \[ -0,125 = -\dfrac{125}{1000} = -\dfrac{1}{8} \] Donc : \[ x^3 = -\dfrac{1}{8} \\ x = \sqrt[3]{ -\dfrac{1}{8} } = -\dfrac{1}{2} \]
Avec \(x = -\dfrac{1}{2}\), complétons les autres colonnes.
Triple de \(x\) : \[ 3x = 3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{3}{2} \]
Inverse du double de \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)} = \dfrac{1}{-1} = -1 \]
Opposé de l’inverse de \(x\) : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{ -\dfrac{1}{2} } = 2 \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{3}{2}\) | \(-0,125\) | \(-1\) | \(2\) |
Nous cherchons la valeur de \(x\) telle que : \[ 3x = 0,15 \]
Résolvons pour \(x\) : \[ x = \dfrac{0,15}{3} = 0,05 \] Convertissons \(0,05\) en fraction : \[ 0,05 = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20} \]
Avec \(x = \dfrac{1}{20}\), complétons les autres colonnes.
Cube de \(x\) : \[ x^3 = \left(\dfrac{1}{20}\right)^3 = \dfrac{1}{8000} \]
Inverse du double de \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2 \times \dfrac{1}{20}} = \dfrac{1}{\dfrac{1}{10}} = 10 \]
Opposé de l’inverse de \(x\) : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{\dfrac{1}{20}} = -20 \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{20}\) | \(0,15\) | \(\dfrac{1}{8000}\) | \(10\) | \(-20\) |
Nous savons que : \[ x^3 = 1 \\ x = \sqrt[3]{1} = 1 \]
Avec \(x = 1\), complétons les autres colonnes.
Triple de \(x\) : \[ 3x = 3 \times 1 = 3 \]
Inverse du double de \(x\) : \[ \dfrac{1}{2x} = \dfrac{1}{2 \times 1} = \dfrac{1}{2} \]
Opposé de l’inverse de \(x\) : \[ -\dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{1} = -1 \]
Ligne complétée :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(-1\) |
Après avoir complété toutes les lignes, le tableau final est le suivant :
| \(x\) | Triple de \(x\) | Cube de \(x\) | Inverse du double de \(x\) | Opposé de l’inverse de \(x\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x\) | \(3x\) | \(x^{3}\) | \(\dfrac{1}{2x}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) |
| \(-4\) | \(-12\) | \(-64\) | \(-\dfrac{1}{8}\) | \(\dfrac{1}{4}\) |
| \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{3}{2}\) | \(-\dfrac{1}{8}\) | \(-1\) | \(2\) |
| \(\dfrac{3}{2}\) | \(\dfrac{9}{2}\) | \(\dfrac{27}{8}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(-\dfrac{2}{3}\) |
| \(-\dfrac{1}{2}\) | \(-\dfrac{3}{2}\) | \(-0,125\) | \(-1\) | \(2\) |
| \(\dfrac{1}{20}\) | \(0,15\) | \(\dfrac{1}{8000}\) | \(10\) | \(-20\) |
| \(1\) | \(3\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(-1\) |
Chaque valeur a été calculée en appliquant les opérations définies pour chaque colonne à la valeur correspondante de \(x\).