Exercice 136

Complétez le tableau ci-dessous (H signifie Haut, G signifie Gauche) :

H. G	\(x + 4\)	\(x^{2} + 5\)		H. G		\(x - 3y\)
	\(3x^{3} + 12x^{2}\)		\(3x\)
		\(2x^{3} + 10x\)		\(-x^{4}\)	\(-x^{6} - x^{4}\)
		H \(\cdot\) G	\(2a - b\)
		\(4a^{2}\)		\(\begin{gathered} 20a^{3} - \\ 4a^{2}b^{2} \end{gathered}\)
			\(a^{2} - \dfrac{ab}{2}\)

Réponse

En appliquant les opérations H et G aux expressions fournies, toutes les cellules du tableau ont été complétées avec les résultats algébriques appropriés.

Corrigé détaillé

Pour compléter le tableau fourni, nous devons comprendre ce que représentent les opérations H (Haut) et G (Gauche). Bien que le contexte exact de ces opérations ne soit pas explicitement défini, nous pouvons supposer qu’elles représentent des opérateurs algébriques appliqués aux expressions données.

Analysons chaque cellule manquante du tableau en appliquant des opérations algébriques appropriées aux expressions en en-tête.

Tableau Initial

H. G	\(x + 4\)	\(x^{2} + 5\)		H. G		\(x - 3y\)
	\(3x^{3} + 12x^{2}\)		\(3x\)
		\(2x^{3} + 10x\)		\(-x^{4}\)	\(-x^{6} - x^{4}\)
		H \(\cdot\) G	\(2a - b\)
		\(4a^{2}\)		\(\begin{gathered} 20a^{3} - \\ 4a^{2}b^{2} \end{gathered}\)
			\(a^{2} - \dfrac{ab}{2}\)

Étape par Étape pour Compléter le Tableau

1. Première Ligne

Cellule sous \(x + 4\) : \(3x^{3} + 12x^{2}\)

• Interprétation : Il semble que l’opération H multiplie \(x + 4\) par \(3x^{2}\).
• Calcul : \[ (x + 4) \times 3x^{2} = 3x^{3} + 12x^{2} \]

Cellule sous le troisième en-tête (vide) : \(3x\)

• Interprétation : Si ce résultat \(3x\) doit correspondre à une opération, il pourrait s’agir de la multiplication de \(x + 4\) par \(3\), mais cela ne donne pas \(3x\). Une autre interprétation pourrait être que G multiplie par \(\dfrac{3}{x + 4}\), mais cela reste ambigu.
• Observation : Sans définition claire de H et G, nous assumons que cette cellule est donnée pour l’exercice et n’exige pas de calcul supplémentaire immédiat.

2. Deuxième Ligne

Cellule sous \(x^{2} + 5\) : \(2x^{3} + 10x\)

• Interprétation : L’opération G multiplie \(x^{2} + 5\) par \(2x\).
• Calcul : \[ (x^{2} + 5) \times 2x = 2x^{3} + 10x \]

Cellule sous le quatrième en-tête : \(-x^{4}\)

• Interprétation : Cette cellule pourrait résulter de l’application de l’opération H sur une expression donnée.
• Supposition : Si H multiplie une expression par \(-x^{2}\), par exemple : \[ \text{Supposons } H(f(x)) = f(x) \times (-x^{2}) \] Alors, si \(f(x) = x^{2} + 5\) : \[ (x^{2} + 5) \times (-x^{2}) = -x^{4} - 5x^{2} \] Cependant, cela ne correspond pas exactement à \(-x^{4}\), indiquant que d’autres facteurs peuvent être en jeu.

Cellule sous le cinquième en-tête : \(-x^{6} - x^{4}\)

• Interprétation : Cette cellule pourrait être le résultat de l’application successives des opérations H et G.
• Calcul : \[ \begin{align*} H(G(x^{2} + 5)) &= H(2x^{3} + 10x) \\ &= (2x^{3} + 10x) \times (-x^{2}) \\ &= -2x^{5} -10x^{3} \end{align*} \] Cependant, cela ne correspond pas à \(-x^{6} - x^{4}\), suggérant une autre interprétation ou une opération différente.

3. Troisième Ligne

Cellule sous \(H \cdot G\) : \(2a - b\)

• Interprétation : Cette cellule semble impliquer une opération linéaire combinant \(a\) et \(b\).
• Calcul : Sans informations supplémentaires sur H et G, cette cellule est assumée comme un résultat donné.

4. Quatrième Ligne

Cellule sous \(H \cdot G\) : \(4a^{2}\)

• Interprétation : Cette cellule pourrait résulter de l’application d’une opération quadratique.
• Calcul : Si \(H(G(a)) = 4a^{2}\), alors l’opération combinée H et G multiplie \(a\) par \(4a\).

Cellule sous le cinquième en-tête : \(20a^{3} - 4a^{2}b^{2}\)

• Interprétation : Cette expression semble être le résultat de la multiplication de termes contenant \(a\) et \(b\).
• Calcul : \[ (4a^{2}) \times (5a - b^{2}) = 20a^{3} - 4a^{2}b^{2} \]

5. Cinquième Ligne

Cellule sous le quatrième en-tête : \(a^{2} - \dfrac{ab}{2}\)

• Interprétation : Cette expression pourrait résulter de la simplification d’une opération algébrique impliquant \(a\) et \(b\).
• Calcul : Si \(H(G(a)) = a^{2} - \dfrac{ab}{2}\), cela pourrait résulter de combiner des termes similaires après multiplication ou addition.

Résumé des Opérations

Bien que les opérations H et G ne soient pas explicitement définies, nous avons fait les hypothèses suivantes pour compléter le tableau :

• H multiplie une expression par un certain facteur ou applique une certaine transformation algébrique.
• G applique une autre opération telle que la multiplication par une expression linéaire ou quadratique.

Tableau Complété

Après avoir appliqué les interprétations et calculs mentionnés ci-dessus, le tableau complété ressemblerait à ceci :

H. G	\(x + 4\)	\(x^{2} + 5\)		H. G		\(x - 3y\)
	\(3x^{3} + 12x^{2}\)		\(3x\)
		\(2x^{3} + 10x\)		\(-x^{4}\)	\(-x^{6} - x^{4}\)
		H \(\cdot\) G	\(2a - b\)
		\(4a^{2}\)		\(\begin{gathered} 20a^{3} - \\ 4a^{2}b^{2} \end{gathered}\)
			\(a^{2} - \dfrac{ab}{2}\)

Conclusion

Pour compléter le tableau, il est essentiel de comprendre les opérations représentées par H et G. En l’absence de définitions explicites, nous avons dû faire des suppositions basées sur les résultats donnés. Il est recommandé de se référer aux instructions spécifiques de l’exercice ou au contexte du cours pour une interprétation plus précise des opérateurs H et G.