Exercice 129

Soient les polynômes suivants :

• \(X = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2}\)
• \(Y = \dfrac{5}{3} a^{2} - 4\)
• \(Z = \dfrac{3}{4} a^{2} + 1\)

Formez les polynômes :

1. \(X - (-Y)\)
2. \(3X - \left( -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \right) + 2Y\)
3. \((X - Y) \cdot Z\)

Réponse

Réponses finales :

1. \(X - (-Y) = 2a^{2} - \dfrac{14}{3}\)

2. \(3X - \left( -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \right) + 2Y = X\)

3. \((X - Y) \cdot Z = -a^{4} + \dfrac{7}{6}a^{2} + \dfrac{10}{3}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Question 1 : Calcul de \(X - (-Y)\)

Nous allons calculer \(X - (-Y)\) en suivant les étapes ci-dessous.

Étape 1 : Écrire les expressions de \(X\) et \(Y\)

\[ X = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} \] \[ Y = \dfrac{5}{3} a^{2} - 4 \]

Étape 2 : Remplacer dans l’expression \(X - (-Y)\)

\[ X - (-Y) = X + Y \]

Étape 3 : Additionner les deux polynômes

\[ X + Y = \left( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} \right) + \left( \dfrac{5}{3} a^{2} - 4 \right) \]

Étape 4 : Regrouper les termes similaires

Termes en \(a^{2}\)

\[ \dfrac{1}{3} a^{2} + \dfrac{5}{3} a^{2} = \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{3} \right) a^{2} = \dfrac{6}{3} a^{2} = 2 a^{2} \]

Termes constants

\[ -\dfrac{2}{3} - 4 = -\dfrac{2}{3} - \dfrac{12}{3} = -\dfrac{14}{3} \]

Étape 5 : Écrire le polynôme résultant

\[ X - (-Y) = 2 a^{2} - \dfrac{14}{3} \]

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Question 2 : Calcul de \(3X - \left( -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \right) + 2Y\)

Nous allons simplifier l’expression étape par étape.

Étape 1 : Écrire les expressions de \(X\) et \(Y\)

\[ X = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} \] \[ Y = \dfrac{5}{3} a^{2} - 4 \]

Étape 2 : Simplifier l’expression intérieure

\[ -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \]

Calcul de \(-(2X - Y)\)

\[ -(2X - Y) = -2X + Y \]

Calcul de \(-(-4X - Y)\)

\[ -(-4X - Y) = 4X + Y \]

Regroupement des deux résultats

\[ -2X + Y + 4X + Y = ( -2X + 4X ) + ( Y + Y ) = 2X + 2Y \]

Étape 3 : Remplacer dans l’expression principale

\[ 3X - \left( 2X + 2Y \right) + 2Y \]

Étape 4 : Distribuer le signe négatif

\[ 3X - 2X - 2Y + 2Y \]

Étape 5 : Simplifier en regroupant les termes similaires

Termes en \(X\)

\[ 3X - 2X = X \]

Termes en \(Y\)

\[ -2Y + 2Y = 0 \]

Étape 6 : Écrire le résultat final

\[ 3X - \left( -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \right) + 2Y = X \]

Donc, l’expression simplifiée est simplement \(X\).

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Question 3 : Calcul de \((X - Y) \cdot Z\)

Nous allons multiplier les polynômes \((X - Y)\) et \(Z\).

Étape 1 : Écrire les expressions de \(X\), \(Y\) et \(Z\)

\[ X = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} \] \[ Y = \dfrac{5}{3} a^{2} - 4 \] \[ Z = \dfrac{3}{4} a^{2} + 1 \]

Étape 2 : Calculer \(X - Y\)

\[ X - Y = \left( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} \right) - \left( \dfrac{5}{3} a^{2} - 4 \right) \]

Distribuer le signe négatif

\[ X - Y = -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} a^{2} - \dfrac{5}{3} a^{2} + 4 \]

Regrouper les termes similaires

\[ \left( \dfrac{1}{3} a^{2} - \dfrac{5}{3} a^{2} \right) + \left( -\dfrac{2}{3} + 4 \right) = -\dfrac{4}{3} a^{2} + \dfrac{10}{3} \]

Étape 3 : Multiplier \((X - Y)\) par \(Z\)

\[ (X - Y) \cdot Z = \left( -\dfrac{4}{3} a^{2} + \dfrac{10}{3} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{4} a^{2} + 1 \right) \]

Étape 4 : Développer les deux polynômes

\[ \left( -\dfrac{4}{3} a^{2} \right) \cdot \left( \dfrac{3}{4} a^{2} \right) + \left( -\dfrac{4}{3} a^{2} \right) \cdot 1 + \dfrac{10}{3} \cdot \left( \dfrac{3}{4} a^{2} \right) + \dfrac{10}{3} \cdot 1 \]

Étape 5 : Effectuer les multiplications

1. \[ -\dfrac{4}{3} a^{2} \cdot \dfrac{3}{4} a^{2} = -\dfrac{4 \times 3}{3 \times 4} a^{4} = -1 a^{4} = -a^{4} \]
2. \[ -\dfrac{4}{3} a^{2} \cdot 1 = -\dfrac{4}{3} a^{2} \]
3. \[ \dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{3}{4} a^{2} = \dfrac{10 \times 3}{3 \times 4} a^{2} = \dfrac{10}{4} a^{2} = \dfrac{5}{2} a^{2} \]
4. \[ \dfrac{10}{3} \cdot 1 = \dfrac{10}{3} \]

Étape 6 : Regrouper tous les termes obtenus

\[ -a^{4} - \dfrac{4}{3} a^{2} + \dfrac{5}{2} a^{2} + \dfrac{10}{3} \]

Étape 7 : Simplifier les termes similaires

Termes en \(a^{2}\)

\[ -\dfrac{4}{3} a^{2} + \dfrac{5}{2} a^{2} = \left( -\dfrac{4}{3} + \dfrac{5}{2} \right) a^{2} = \left( -\dfrac{8}{6} + \dfrac{15}{6} \right) a^{2} = \dfrac{7}{6} a^{2} \]

Terme constant

\[ \dfrac{10}{3} \]

Étape 8 : Écrire le polynôme final

\[ (X - Y) \cdot Z = -a^{4} + \dfrac{7}{6} a^{2} + \dfrac{10}{3} \]

Résultat Final

1. \[ X - (-Y) = 2 a^{2} - \dfrac{14}{3} \]

2. \[ 3X - \left( -\left(2X - Y\right) - \left(-4X - Y\right) \right) + 2Y = X \]

3. \[ (X - Y) \cdot Z = -a^{4} + \dfrac{7}{6} a^{2} + \dfrac{10}{3} \]