Simplifiez l’expression \((2a - b + a) \cdot 2a^{2} + a^{2} \cdot (a + b - b)\).
Simplifiez l’expression \(\frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b \cdot 2b - 3b \cdot (2a - b)\).
Simplifiez l’expression \(\left(7x^{2} + 3x - 10\right) \cdot 3x + 7x^{2} \cdot (2x + 3)\).
Simplifiez l’expression \(4 \cdot (2a - b) \cdot a^{2} - a \cdot \left(2a^{2} + ab\right) \cdot 2\).
Simplifiez l’expression \((7w - 3y) \cdot 2w^{2} + 4w^{2} \cdot (2w + 5y)\).
Simplifiez l’expression \(abc + (2a + b + c)\).
Réponses :
Nous allons détailler la démarche pour chacune des questions.
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Question 1
Expression : (2a – b + a) · 2a² + a² · (a + b – b)
Dans la première parenthèse, regroupons les termes semblables
:
2a + a = 3a
On obtient ainsi : (3a – b).
Dans la deuxième parenthèse, b – b s’annule, donc :
a + b – b = a.
L’expression devient alors :
(3a – b) · 2a² + a² · a.
Calculons le produit :
• (3a – b) · 2a² = 2a² · 3a – 2a² · b = 6a³ – 2a²b
• a² · a = a³
En additionnant les deux parties :
6a³ – 2a²b + a³ = (6a³ + a³) – 2a²b = 7a³ – 2a²b
La forme simplifiée est donc :
7a³ – 2a²b
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Question 2
Expression : (1/2)ab – (1/2)·b·2b – 3b·(2a – b)
Dans le deuxième terme, simplifions :
(1/2)·b·2b = (1/2)·2·b² = b²
L’expression devient :
(1/2)ab – b² – 3b·(2a – b)
Développons le terme – 3b·(2a – b) :
– 3b·2a = – 6ab
– 3b·(–b) = + 3b²
L’expression se transforme en :
(1/2)ab – b² – 6ab + 3b²
Regroupement des termes semblables :
Pour les ab : (1/2)ab – 6ab = (1/2 – 6)ab = (1/2 – 12/2)ab = –
(11/2)ab
Pour les b² : – b² + 3b² = 2b²
La forme simplifiée est donc :
– (11/2)ab + 2b²
(on peut aussi écrire 2b² – (11/2)ab)
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Question 3
Expression : (7x² + 3x – 10) · 3x + 7x² · (2x + 3)
Développons le premier produit :
7x² · 3x = 21x³
3x · 3x = 9x²
(–10) · 3x = –30x
Développons le deuxième produit :
7x² · 2x = 14x³
7x² · 3 = 21x²
Additionnons les résultats :
Pour les x³ : 21x³ + 14x³ = 35x³
Pour les x² : 9x² + 21x² = 30x²
Pour les x : –30x
La forme simplifiée est donc :
35x³ + 30x² – 30x
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Question 4
Expression : 4 · (2a – b) · a² – a · (2a² + ab) · 2
Réécrivons en mettant les constantes en avant :
4a²(2a – b) – 2a(2a² + ab)
Développons le premier terme :
4a² · 2a = 8a³
4a² · (–b) = – 4a²b
Développons le deuxième terme :
2a · 2a² = 4a³
2a · ab = 2a²b
L’expression devient donc :
8a³ – 4a²b – 4a³ – 2a²b
Regroupons les termes semblables :
Pour a³ : 8a³ – 4a³ = 4a³
Pour a²b : –4a²b – 2a²b = – 6a²b
La forme simplifiée est :
4a³ – 6a²b
(qu’on peut aussi mettre en facteur 2a² : 2a²(2a – 3b))
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Question 5
Expression : (7w – 3y) · 2w² + 4w² · (2w + 5y)
Développons le premier produit :
7w · 2w² = 14w³
(–3y) · 2w² = –6w²y
Développons le deuxième produit :
4w² · 2w = 8w³
4w² · 5y = 20w²y
Additionnons les résultats :
Pour w³ : 14w³ + 8w³ = 22w³
Pour w²y : –6w²y + 20w²y = 14w²y
La forme simplifiée est donc :
22w³ + 14w²y
(on peut extraire le facteur commun 2w² pour obtenir 2w²(11w +
7y))
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Question 6
Expression : abc + (2a + b + c)
La forme simplifiée est donc :
abc + 2a + b + c
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Conclusion :
Ces étapes montrent comment regrouper, développer et simplifier chaque expression en identifiant les termes semblables et en effectuant les opérations de base.