Exercice 127

Simplifiez les expressions suivantes :

1. \(3 a^{2} \cdot (2 a - b) - 2 a^{2} \cdot (4 a - 3 b)\)
2. \(7 x y \cdot (2 x - 3 x y) + 3 x^{2} \cdot \left(y^{2} - y\right)\)
3. \(2 z^{2} \cdot (3 z - 2 x) - 4 z^{2} \cdot (z - 2 x)\)
4. \(5 a^{2} b \cdot \left(a^{2} b + 4 b^{2}\right) - 7 b^{2} \cdot \left(2 a^{4} - a^{2} b\right)\)
5. \(x^{3} \cdot \left(2 y^{2} - 3 x y\right) - 2 x y^{2} \cdot \left(5 x^{2} - 4 x^{3}\right)\)
6. \(2 z \cdot w \cdot \left(z^{2} - z w + 1\right) + 3 z w \cdot \left(z^{2} - 2 z w - 1\right)\)

Réponse

Voici les réponses simplifiées résumées :

1. –2a³ + 3a²b
   
2. 11x²y – 18x²y²
   
3. 2z³ + 4xz²
   
4. –9a⁴b² + 27a²b³
   
5. –8x³y² – 3x⁴y + 8x⁴y²
   
6. 5z³w – 8z²w² – zw

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chaque expression étape par étape en développant les parenthèses et en regroupant les termes semblables.

────────────────────────────── 1. Expression : 3a²·(2a – b) – 2a²·(4a – 3b)

• Développons chaque terme :

 – Le premier produit :
  3a² × 2a = 6a³
  3a² × (–b) = –3a²b

 – Le deuxième produit :
  –2a² × 4a = –8a³
  –2a² × (–3b) = +6a²b

• Regroupons les termes semblables :

 – Pour a³ : 6a³ – 8a³ = –2a³
 – Pour a²b : –3a²b + 6a²b = 3a²b

• La forme simplifiée est :
  –2a³ + 3a²b

────────────────────────────── 2. Expression : 7xy·(2x – 3xy) + 3x²·(y² – y)

• Développons chaque produit :

 – Dans le premier terme :
  7xy × 2x = 14x²y
  7xy × (–3xy) = –21x²y²

 – Dans le second terme :
  3x² × y² = 3x²y²
  3x² × (–y) = –3x²y

• Regroupons les termes semblables :

 – Pour x²y : 14x²y – 3x²y = 11x²y
 – Pour x²y² : –21x²y² + 3x²y² = –18x²y²

• La forme simplifiée est :
  11x²y – 18x²y²

────────────────────────────── 3. Expression : 2z²·(3z – 2x) – 4z²·(z – 2x)

• Développons chaque produit :

 – Pour le premier produit :
  2z² × 3z = 6z³
  2z² × (–2x) = –4xz²

 – Pour le second produit :
  –4z² × z = –4z³
  –4z² × (–2x) = +8xz²

• Regroupons les termes semblables :

 – Pour z³ : 6z³ – 4z³ = 2z³
 – Pour xz² : –4xz² + 8xz² = 4xz²

• La forme simplifiée est :
  2z³ + 4xz²

────────────────────────────── 4. Expression : 5a²b·(a²b + 4b²) – 7b²·(2a⁴ – a²b)

• Développons chaque produit :

 – Dans le premier terme :
  5a²b × a²b = 5a⁴b²
  5a²b × 4b² = 20a²b³

 – Dans le second terme :
  –7b² × 2a⁴ = –14a⁴b²
  –7b² × (–a²b) = +7a²b³

• Regroupons les termes semblables :

 – Pour a⁴b² : 5a⁴b² – 14a⁴b² = –9a⁴b²
 – Pour a²b³ : 20a²b³ + 7a²b³ = 27a²b³

• La forme simplifiée est :
  –9a⁴b² + 27a²b³

────────────────────────────── 5. Expression : x³·(2y² – 3xy) – 2xy²·(5x² – 4x³)

• Développons chaque produit :

 – Pour le premier terme :
  x³ × 2y² = 2x³y²
  x³ × (–3xy) = –3x⁴y

 – Pour le second terme :
  –2xy² × 5x² = –10x³y²  (car x × x² = x³)
  –2xy² × (–4x³) = +8x⁴y²  (car x × x³ = x⁴)

• Regroupons les termes semblables :

 – Les termes en x³y² : 2x³y² – 10x³y² = –8x³y²
 – On note aussi le terme en x⁴y : –3x⁴y
 – Le terme en x⁴y² n’a pas de semblable : +8x⁴y²

• La forme simplifiée est :
  –8x³y² – 3x⁴y + 8x⁴y²

────────────────────────────── 6. Expression : 2z·w·(z² – zw + 1) + 3z·w·(z² – 2zw – 1)

• Développons chaque produit en remarquant que zw est un facteur commun :

 – Dans le premier terme :
  2zw × z² = 2z³w
  2zw × (–zw) = –2z²w²
  2zw × 1 = 2zw

 – Dans le second terme :
  3zw × z² = 3z³w
  3zw × (–2zw) = –6z²w²
  3zw × (–1) = –3zw

• Regroupons les termes semblables :

 – Pour z³w : 2z³w + 3z³w = 5z³w
 – Pour z²w² : –2z²w² – 6z²w² = –8z²w²
 – Pour zw : 2zw – 3zw = –zw

• La forme simplifiée est :
  5z³w – 8z²w² – zw

────────────────────────────── Ainsi, les réponses définitives sont :

1. –2a³ + 3a²b
   
2. 11x²y – 18x²y²
   
3. 2z³ + 4xz²
   
4. –9a⁴b² + 27a²b³
   
5. –8x³y² – 3x⁴y + 8x⁴y²
   
6. 5z³w – 8z²w² – zw

Chaque étape a consisté à distribuer les coefficients dans les parenthèses, à multiplier les puissances de variables, puis à regrouper les termes semblables pour obtenir l’expression la plus simple possible.