Soient les polynômes suivants :
Effectuez les opérations suivantes :
Résumé des résultats :
Nous allons effectuer les opérations demandées sur les polynômes suivants :
Étape 1 : Écrire les polynômes à multiplier
\[ A = x^{2} + 4 \] \[ B = x^{2} - 4 \]
Étape 2 : Utiliser la formule du produit des binômes conjugués
Remarquons que \(A\) et \(B\) sont des binômes conjugués de la forme \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\).
Ici, \(a = x^{2}\) et \(b = 4\).
Étape 3 : Appliquer la formule
\[ A \cdot B = (x^{2})^{2} - (4)^{2} \]
Étape 4 : Calculer les puissances
\[ (x^{2})^{2} = x^{4} \] \[ (4)^{2} = 16 \]
Étape 5 : Soustraire les résultats
\[ A \cdot B = x^{4} - 16 \]
Résultat :
\[ A \cdot B = x^{4} - 16 \]
Étape 1 : Écrire les polynômes à soustraire
\[ B = x^{2} - 4 \] \[ A = x^{2} + 4 \]
Étape 2 : Soustraire les polynômes terme à terme
\[ B - A = (x^{2} - 4) - (x^{2} + 4) \]
Étape 3 : Enlever les parenthèses en changeant les signes
\[ B - A = x^{2} - 4 - x^{2} - 4 \]
Étape 4 : Regrouper les termes similaires
\[ x^{2} - x^{2} = 0 \] \[ -4 - 4 = -8 \]
Étape 5 : Écrire le résultat final
\[ B - A = -8 \]
Résultat :
\[ B - A = -8 \]
Étape 1 : Écrire les polynômes avec leurs coefficients
\[ 3A = 3(x^{2} + 4) = 3x^{2} + 12 \] \[ \frac{1}{2}C = \frac{1}{2}(2x^{2} - 8x + 8) = x^{2} - 4x + 4 \]
Étape 2 : Additionner les deux expressions obtenues
\[ 3A + \frac{1}{2}C = (3x^{2} + 12) + (x^{2} - 4x + 4) \]
Étape 3 : Regrouper les termes similaires
\[ 3x^{2} + x^{2} = 4x^{2} \] \[ -4x = -4x \] \[ 12 + 4 = 16 \]
Étape 4 : Écrire le polynôme simplifié
\[ 3A + \frac{1}{2}C = 4x^{2} - 4x + 16 \]
Résultat :
\[ 3A + \frac{1}{2}C = 4x^{2} - 4x + 16 \]