Exercice 122

Question : Supprime les parenthèses puis réduis.

\[ \mathrm{A} = 5 + (3 - x) - 2 + (y + 4) \]

\[ \mathrm{B} = 12 - (5 - y) + 8 - (x - 10) \]

\[ \mathrm{C} = 8 - (d - 3) - (4 + c) + 19 - (20 - d) \]

\[ \mathrm{D} = 10 + \left[6 - (2 - x) + (x + 5)\right] - \left[3x - (5 + y - x)\right] \]

\[ \mathrm{E} = 10 - \left[(d - 3) - (4 + c)\right] + 19 - \left[(20 - d) - (3x + 6)\right] \]

\[ \mathrm{F} = 12 + \left[(6 - y) - 8 - (x - 10)\right] - \left[14 + (8 - y) - (7 + 3x)\right] \]

\[ \mathbf{G} = 6 - \left[(3 - x) - (3 + x) + 8\right] + (y + 2) \]

Réponse

Voici le résumé final :

A = 10 – x + y
B = 25 + y – x
C = 6 – c
D = 24 – 2x + y
E = 22 + c + 3x
F = 2x + 5
G = 2x + y

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression pas à pas.

────────────────────────────── Exercice A
────────────────────────────── On vous propose l’expression :

A = 5 + (3 – x) – 2 + (y + 4)

Supprimez les parenthèses en faisant attention aux signes devant chaque parenthèse : • 5 reste 5. • (3 – x) se développe en 3 – x. • – 2 reste –2. • (y + 4) se développe en y + 4.

Ainsi, on écrit : A = 5 + 3 – x – 2 + y + 4

Regroupez les termes semblables (les constantes et les termes en x ou y) : • Les constantes : 5 + 3 – 2 + 4 = 10 • Les variables : – x et + y

La forme réduite est donc : A = 10 – x + y

────────────────────────────── Exercice B
────────────────────────────── On part de :

B = 12 – (5 – y) + 8 – (x – 10)

Développons en supprimant les parenthèses : • 12 reste 12. • – (5 – y) = –5 + y (car on change les signes de 5 et de –y) • + 8 reste +8. • – (x – 10) = – x + 10 (pour la même raison)

On obtient : B = 12 – 5 + y + 8 – x + 10

Regroupons les termes semblables : • Constantes : 12 – 5 + 8 + 10 = 25 • Variables : y – x

La forme réduite devient : B = 25 + y – x

────────────────────────────── Exercice C
────────────────────────────── L’expression donnée est :

C = 8 – (d – 3) – (4 + c) + 19 – (20 – d)

Supprimez les parenthèses : • 8 reste 8. • – (d – 3) = – d + 3. • – (4 + c) = – 4 – c. • + 19 reste + 19. • – (20 – d) = – 20 + d.

L’expression devient : C = 8 – d + 3 – 4 – c + 19 – 20 + d

Regroupons les termes semblables : • Les termes en d : – d + d = 0. • Les constantes : 8 + 3 – 4 + 19 – 20 = 6 (puisque 8+3 = 11, 11–4 = 7, 7+19 = 26, 26–20 = 6) • Le terme en c : – c

On obtient finalement : C = 6 – c

────────────────────────────── Exercice D
────────────────────────────── L’expression est :

D = 10 + [6 – (2 – x) + (x + 5)] – [3x – (5 + y – x)]

Traçons les étapes :

Traitons d’abord le premier groupe entre crochets : [6 – (2 – x) + (x + 5)] • Développer – (2 – x) donne –2 + x. • Ajouter (x + 5) sans changement. On a alors : 6 – 2 + x + x + 5. Calcul des constantes : 6 – 2 + 5 = 9. Les x : x + x = 2x. Donc, le groupe se réduit à 9 + 2x.
Passons au second groupe : [3x – (5 + y – x)] • Développer – (5 + y – x) donne –5 – y + x. On obtient : 3x – 5 – y + x. Regroupons les termes en x : 3x + x = 4x. Donc, le second groupe devient : 4x – 5 – y.
Remplaçons dans l’expression initiale : D = 10 + (9 + 2x) – (4x – 5 – y) Pour la soustraction, on change les signes du contenu de la parenthèse : D = 10 + 9 + 2x – 4x + 5 + y
Regroupons les termes semblables : • Constantes : 10 + 9 + 5 = 24. • Terme en x : 2x – 4x = –2x. • Terme en y : + y. Ainsi : D = 24 – 2x + y

────────────────────────────── Exercice E
────────────────────────────── L’expression est :

E = 10 – [(d – 3) – (4 + c)] + 19 – [(20 – d) – (3x + 6)]

Commençons par le premier groupe entre crochets : (d – 3) – (4 + c) Développons : d – 3 – 4 – c = d – 7 – c.
Le premier terme devient donc : 10 – (d – 7 – c) En changeant les signes à l’intérieur de la parenthèse : = 10 – d + 7 + c = 17 – d + c.
Maintenant, le second groupe : (20 – d) – (3x + 6) Développons : 20 – d – 3x – 6 = 14 – d – 3x.
Le second terme de l’expression devient : 19 – (14 – d – 3x) En changeant les signes : = 19 – 14 + d + 3x = 5 + d + 3x.
Finalement, additionnons les deux résultats : (17 – d + c) + (5 + d + 3x) Les termes en d : – d + d = 0. Les constantes : 17 + 5 = 22. Les termes restants : c et 3x. Ainsi : E = 22 + c + 3x

────────────────────────────── Exercice F
────────────────────────────── L’expression est :

F = 12 + [(6 – y) – 8 – (x – 10)] – [14 + (8 – y) – (7 + 3x)]

Simplifions le premier groupe entre crochets : (6 – y) – 8 – (x – 10) Développons : 6 – y – 8 – x + 10. Regroupons les constantes : 6 – 8 + 10 = 8. Les variables : – y – x. Ce groupe donne donc : 8 – y – x.
Simplifions le second groupe entre crochets : 14 + (8 – y) – (7 + 3x) Développons : 14 + 8 – y – 7 – 3x. Les constantes : 14 + 8 – 7 = 15. Les variables : – y – 3x. Ce groupe devient : 15 – y – 3x.
Remplaçons dans l’expression initiale : F = 12 + (8 – y – x) – (15 – y – 3x) Développons la soustraction : F = 12 + 8 – y – x – 15 + y + 3x
Regroupons les termes semblables : • Constantes : 12 + 8 – 15 = 5. • Terme en y : – y + y = 0. • Terme en x : – x + 3x = 2x. Ainsi, on obtient : F = 5 + 2x (ou 2x + 5)

────────────────────────────── Exercice G
────────────────────────────── L’expression est :

G = 6 – [(3 – x) – (3 + x) + 8] + (y + 2)

Simplifions le groupe entre crochets : (3 – x) – (3 + x) + 8 Développons : 3 – x – 3 – x + 8. Les constantes : 3 – 3 + 8 = 8. Les variables : – x – x = – 2x. On obtient donc : 8 – 2x.
Remplaçons dans l’expression : G = 6 – (8 – 2x) + y + 2 Développons la soustraction : G = 6 – 8 + 2x + y + 2
Regroupons les constantes et les variables : • Constantes : 6 – 8 + 2 = 0. • Variables : 2x + y. Ainsi, la forme réduite est : G = 2x + y

────────────────────────────── Résumé des résultats finaux
────────────────────────────── A = 10 – x + y
B = 25 + y – x
C = 6 – c
D = 24 – 2x + y
E = 22 + c + 3x
F = 2x + 5
G = 2x + y

Chacune de ces étapes a permis de supprimer les parenthèses et de regrouper les termes semblables pour obtenir une expression simplifiée.