Question : Soit \(B = m(m + 8) - m^{2}\).
Développe et réduis \(B\).
En déduire, sans utiliser de calculatrice, le résultat de : \[ 7\,890\,123\,456 \times 7\,890\,123\,464 - 7\,890\,123\,456^{2} \]
Nous allons résoudre l’exercice en deux parties.
────────────────────────────── 1. (a) Développer et réduire B
On nous donne l’expression suivante : B = m(m + 8) – m²
• D’abord, nous allons développer le premier terme. Pour cela, on multiplie m par chacun des termes à l’intérieur de la parenthèse :
m(m + 8) = m × m + m × 8 = m² + 8m
• L’expression devient alors : B = (m² + 8m) – m²
• Maintenant, nous remarquons que m² apparaît avec un signe positif et un signe négatif, ce qui signifie qu’ils se neutralisent : m² + 8m – m² = 8m
Ainsi, l’expression simplifiée de B est : B = 8m
────────────────────────────── 2. (b) Utiliser le résultat pour résoudre le calcul
On nous demande de déterminer sans calculatrice le résultat de : 7 890 123 456 × 7 890 123 464 – 7 890 123 456²
Observons que le premier nombre (7 890 123 456) peut être considéré comme m. Le second nombre (7 890 123 464) est alors égal à m + 8, car : 7 890 123 456 + 8 = 7 890 123 464
Nous pouvons réécrire l’expression du calcul de la manière suivante :
m(m + 8) – m²
Mais nous avons déjà développé et simplifié cette expression dans la partie (a). Nous avons trouvé que : m(m + 8) – m² = 8m
Il nous suffit donc de remplacer m par 7 890 123 456 dans l’expression simplifiée :
8m = 8 × 7 890 123 456
Calculons ce produit :
• Pour multiplier par 8, nous pouvons effectuer la multiplication sur le nombre : 8 × 7 890 123 456 = 63 120 987 648
────────────────────────────── Conclusion
L’expression B se réduit à 8m.
Ainsi, 7 890 123 456 × 7 890 123 464 – 7 890 123 456² = 63 120 987 648
Cette méthode démontre qu’en factorisant l’expression initiale, le calcul devient nettement plus simple même lorsque les nombres sont très grands.