Exercice 120

Soient les polynômes suivants :

• \(A = 2x + \dfrac{1}{2}\)
• \(B = 2x - \dfrac{1}{2}\)

Former les polynômes suivants :

1. \((A + B)^{2} - 2AB - B^{2}\)
   
2. \((A + B)^{2} - (A + B)(A - B) - B^{2}\)
   
3. \(4(A - B)\)

Réponse

Résumé des résultats

1. \((A + B)^{2} - 2AB - B^{2} = 4x^{2} + x + \dfrac{1}{4}\)
2. \((A + B)^{2} - (A + B)(A - B) - B^{2} = 12x^{2} - 3x - \dfrac{1}{4}\)
3. \(4(A - B) = 4\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons former et simplifier les polynômes demandés en utilisant les expressions données pour \(A\) et \(B\).

\[ A = 2x + \frac{1}{2} \] \[ B = 2x - \frac{1}{2} \]

1) \((A + B)^{2} - 2AB - B^{2}\)

Étape 1 : Calcul de \(A + B\)

Additionnons \(A\) et \(B\) :

\[ A + B = \left(2x + \frac{1}{2}\right) + \left(2x - \frac{1}{2}\right) = 4x \]

Étape 2 : Calcul de \((A + B)^{2}\)

\[ (A + B)^{2} = (4x)^{2} = 16x^{2} \]

Étape 3 : Calcul de \(AB\)

Multipliant \(A\) et \(B\) :

\[ AB = \left(2x + \frac{1}{2}\right)\left(2x - \frac{1}{2}\right) \]

En utilisant la formule du produit de deux binômes de la forme \((a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\), où \(a = 2x\) et \(b = \frac{1}{2}\) :

\[ AB = (2x)^{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 4x^{2} - \frac{1}{4} \]

Étape 4 : Calcul de \(2AB\)

\[ 2AB = 2 \times \left(4x^{2} - \frac{1}{4}\right) = 8x^{2} - \frac{1}{2} \]

Étape 5 : Calcul de \(B^{2}\)

\[ B^{2} = \left(2x - \frac{1}{2}\right)^{2} = 4x^{2} - 2x \times \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 4x^{2} - x + \frac{1}{4} \]

Étape 6 : Assemblage de l’expression

Remplaçons dans l’expression initiale :

\[ (A + B)^{2} - 2AB - B^{2} = 16x^{2} - \left(8x^{2} - \frac{1}{2}\right) - \left(4x^{2} - x + \frac{1}{4}\right) \]

Développons :

\[ 16x^{2} - 8x^{2} + \frac{1}{2} - 4x^{2} + x - \frac{1}{4} \]

Étape 7 : Simplification

Regroupons les termes similaires :

• Termes en \(x^{2}\) : \[ 16x^{2} - 8x^{2} - 4x^{2} = 4x^{2} \]

• Terme en \(x\) : \[ x \]

• Termes constants : \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]

Ainsi, l’expression simplifiée est :

\[ 4x^{2} + x + \frac{1}{4} \]

2) \((A + B)^{2} - (A + B)(A - B) - B^{2}\)

Étape 1 : Calcul de \(A + B\) et \(A - B\)

Nous avons déjà calculé \(A + B\) :

\[ A + B = 4x \]

Calculons \(A - B\) :

\[ A - B = \left(2x + \frac{1}{2}\right) - \left(2x - \frac{1}{2}\right) = 1 \]

Étape 2 : Calcul de \((A + B)^{2}\)

Comme précédemment :

\[ (A + B)^{2} = (4x)^{2} = 16x^{2} \]

Étape 3 : Calcul de \((A + B)(A - B)\)

\[ (A + B)(A - B) = 4x \times 1 = 4x \]

Étape 4 : Calcul de \(B^{2}\)

Déjà calculé précédemment :

\[ B^{2} = 4x^{2} - x + \frac{1}{4} \]

Étape 5 : Assemblage de l’expression

\[ (A + B)^{2} - (A + B)(A - B) - B^{2} = 16x^{2} - 4x - \left(4x^{2} - x + \frac{1}{4}\right) \]

Développons :

\[ 16x^{2} - 4x - 4x^{2} + x - \frac{1}{4} \]

Étape 6 : Simplification

Regroupons les termes similaires :

• Termes en \(x^{2}\) : \[ 16x^{2} - 4x^{2} = 12x^{2} \]

• Termes en \(x\) : \[ -4x + x = -3x \]

• Termes constants : \[ -\frac{1}{4} \]

Ainsi, l’expression simplifiée est :

\[ 12x^{2} - 3x - \frac{1}{4} \]

3) \(4(A - B)\)

Étape 1 : Calcul de \(A - B\)

Comme précédemment :

\[ A - B = 1 \]

Étape 2 : Multiplication par 4

\[ 4(A - B) = 4 \times 1 = 4 \]

Ainsi, le polynôme formé est simplement \(4\).

Résumé des résultats

1. \((A + B)^{2} - 2AB - B^{2} = 4x^{2} + x + \dfrac{1}{4}\)
2. \((A + B)^{2} - (A + B)(A - B) - B^{2} = 12x^{2} - 3x - \dfrac{1}{4}\)
3. \(4(A - B) = 4\)