Soient les polynômes :
Former les polynômes suivants :
Voici les résultats des calculs :
\(Z \cdot Z = a^{4} + a^{2} + \frac{1}{4}\)
\(-Z + 2XY = 3a^{4} + \frac{47}{4}a^{3} - 17a^{2} + \frac{11}{2}a - \frac{11}{2}\)
\((X + Y)^2 - Z - (X - Y)(X + Y) = 21a^{4} + \frac{35}{4}a^{3} - \frac{39}{8}a^{2} + \frac{9}{2}a - \frac{9}{2}\)
Nous allons former les polynômes demandés en utilisant les polynômes donnés :
\[ \begin{align*} 1. \quad X &= \frac{1}{2} a^{2} + 2a - 3 \\ 2. \quad Y &= 3a^{2} - \frac{1}{4} a + 1 \\ 3. \quad Z &= -a^{2} - \frac{1}{2} \end{align*} \]
Pour multiplier le polynôme \(Z\) par lui-même, nous utilisons la formule \((A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD\).
\[ Z \cdot Z = (-a^{2} - \frac{1}{2}) \cdot (-a^{2} - \frac{1}{2}) \]
Développons le produit :
\[ \begin{align*} Z \cdot Z &= (-a^{2}) \cdot (-a^{2}) + (-a^{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}) \cdot (-a^{2}) + (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \\ &= a^{4} + \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{4} \\ &= a^{4} + ( \frac{1}{2}a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} ) + \frac{1}{4} \\ &= a^{4} + a^{2} + \frac{1}{4} \end{align*} \]
Résultat :
\[ Z \cdot Z = a^{4} + a^{2} + \frac{1}{4} \]
Calculons chaque partie séparément puis combinons-les.
Étape 1 : Calcul de \(-Z\)
\[ -Z = -(-a^{2} - \frac{1}{2}) = a^{2} + \frac{1}{2} \]
Étape 2 : Calcul de \(XY\)
Multipliant \(X\) et \(Y\) :
\[ X \cdot Y = \left( \frac{1}{2} a^{2} + 2a - 3 \right) \cdot \left( 3a^{2} - \frac{1}{4} a + 1 \right) \]
Développons le produit en multipliant chaque terme de \(X\) par chaque terme de \(Y\) :
\[ \begin{align*} X \cdot Y &= \frac{1}{2}a^{2} \cdot 3a^{2} + \frac{1}{2}a^{2} \cdot \left( -\frac{1}{4}a \right) + \frac{1}{2}a^{2} \cdot 1 \\ &\quad + 2a \cdot 3a^{2} + 2a \cdot \left( -\frac{1}{4}a \right) + 2a \cdot 1 \\ &\quad + (-3) \cdot 3a^{2} + (-3) \cdot \left( -\frac{1}{4}a \right) + (-3) \cdot 1 \\ &= \frac{3}{2} a^{4} - \frac{1}{8} a^{3} + \frac{1}{2} a^{2} + 6a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + 2a - 9a^{2} + \frac{3}{4}a - 3 \\ &= \frac{3}{2} a^{4} + \left( -\frac{1}{8}a^{3} + 6a^{3} \right) + \left( \frac{1}{2}a^{2} - \frac{1}{2}a^{2} - 9a^{2} \right) + \left( 2a + \frac{3}{4}a \right) - 3 \\ &= \frac{3}{2} a^{4} + \frac{47}{8} a^{3} - 9a^{2} + \frac{11}{4} a - 3 \end{align*} \]
Étape 3 : Calcul de \(2XY\)
Multiplions \(XY\) par 2 :
\[ 2XY = 2 \left( \frac{3}{2} a^{4} + \frac{47}{8} a^{3} - 9a^{2} + \frac{11}{4} a - 3 \right) = 3a^{4} + \frac{47}{4} a^{3} - 18a^{2} + \frac{11}{2} a - 6 \]
Étape 4 : Combinaison des résultats
Additionnons \(-Z\) et \(2XY\) :
\[ \begin{align*} -Z + 2XY &= \left( a^{2} + \frac{1}{2} \right) + \left( 3a^{4} + \frac{47}{4} a^{3} - 18a^{2} + \frac{11}{2} a - 6 \right) \\ &= 3a^{4} + \frac{47}{4} a^{3} + (a^{2} - 18a^{2}) + \frac{11}{2} a + \left( \frac{1}{2} - 6 \right) \\ &= 3a^{4} + \frac{47}{4} a^{3} - 17a^{2} + \frac{11}{2} a - \frac{11}{2} \end{align*} \]
Résultat :
\[ -Z + 2XY = 3a^{4} + \frac{47}{4} a^{3} - 17a^{2} + \frac{11}{2} a - \frac{11}{2} \]
Nous allons simplifier cette expression étape par étape.
Étape 1 : Calcul de \((X + Y)(X + Y)\)
\[ (X + Y)^2 = (X + Y)(X + Y) \]
Développons le produit :
\[ (X + Y)^2 = X^2 + 2XY + Y^2 \]
Étape 2 : Calcul de \((X - Y)(X + Y)\)
Utilisons la formule de la différence de carrés :
\[ (X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2 \]
Étape 3 : Assemblage de l’expression complète
Remplaçons dans l’expression initiale :
\[ (X + Y)^2 - Z - (X - Y)(X + Y) = (X^2 + 2XY + Y^2) - Z - (X^2 - Y^2) \]
Simplifions :
\[ = X^2 + 2XY + Y^2 - Z - X^2 + Y^2 \] \[ = 2XY + 2Y^2 - Z \]
Étape 4 : Substitution des valeurs
Utilisons les résultats précédents :
Nous avons déjà calculé \(XY\) :
\[ XY = \frac{3}{2} a^{4} + \frac{47}{8} a^{3} - 9a^{2} + \frac{11}{4} a - 3 \]
Et \(Y^2\):
Calculons \(Y^2\) :
\[ Y^2 = \left( 3a^{2} - \frac{1}{4} a + 1 \right)^2 \]
Développant :
\[ Y^2 = (3a^{2})^2 + 2 \cdot 3a^{2} \cdot \left( -\frac{1}{4}a \right) + 2 \cdot 3a^{2} \cdot 1 + \left( -\frac{1}{4}a \right)^2 + 2 \cdot \left( -\frac{1}{4}a \right) \cdot 1 + 1^2 \] \[ = 9a^{4} - \frac{3}{2}a^{3} + 6a^{2} + \frac{1}{16}a^{2} - \frac{1}{2}a + 1 \] \[ = 9a^{4} - \frac{3}{2}a^{3} + \left(6a^{2} + \frac{1}{16}a^{2}\right) - \frac{1}{2}a + 1 \] \[ = 9a^{4} - \frac{3}{2}a^{3} + \frac{97}{16}a^{2} - \frac{1}{2}a + 1 \]
Maintenant, multiplions par 2 :
\[ 2Y^2 = 2 \left( 9a^{4} - \frac{3}{2}a^{3} + \frac{97}{16}a^{2} - \frac{1}{2}a + 1 \right) = 18a^{4} - 3a^{3} + \frac{97}{8}a^{2} - a + 2 \]
Étape 5 : Calcul final
Remplaçons dans \(2XY + 2Y^2 - Z\) :
\[ 2XY + 2Y^2 - Z = \left(2 \cdot XY \right) + 2Y^2 - Z \] \[ = 2 \left( \frac{3}{2} a^{4} + \frac{47}{8} a^{3} - 9a^{2} + \frac{11}{4} a - 3 \right) + 18a^{4} - 3a^{3} + \frac{97}{8}a^{2} - a + 2 - (-a^{2} - \frac{1}{2}) \] \[ = 3a^{4} + \frac{47}{4}a^{3} - 18a^{2} + \frac{11}{2}a - 6 + 18a^{4} - 3a^{3} + \frac{97}{8}a^{2} - a + 2 + a^{2} + \frac{1}{2} \]
Combinons les termes similaires :
\[ = (3a^{4} + 18a^{4}) + \left( \frac{47}{4}a^{3} - 3a^{3} \right) + \left( -18a^{2} + \frac{97}{8}a^{2} + a^{2} \right) + \left( \frac{11}{2}a - a \right) + \left( -6 + 2 + \frac{1}{2} \right) \] \[ = 21a^{4} + \frac{35}{4}a^{3} + \left( -18a^{2} + \frac{97}{8}a^{2} + \frac{8}{8}a^{2} \right) + \frac{9}{2}a - \frac{9}{2} \] \[ = 21a^{4} + \frac{35}{4}a^{3} + \left( -\frac{144}{8}a^{2} + \frac{97}{8}a^{2} + \frac{8}{8}a^{2} \right) + \frac{9}{2}a - \frac{9}{2} \] \[ = 21a^{4} + \frac{35}{4}a^{3} - \frac{39}{8}a^{2} + \frac{9}{2}a - \frac{9}{2} \]
Résultat final :
\[ (X + Y)(X + Y) - Z - (X - Y)(X + Y) = 21a^{4} + \frac{35}{4}a^{3} - \frac{39}{8}a^{2} + \frac{9}{2}a - \frac{9}{2} \]